Svar
Om hastigheten är en funktion av tiden är det totala avståndet bara det integrerade med avseende på tiden. Avståndet till exempel $ D $ för ett objekt som rör sig med en hastighet $ v (t) $ över ett tidsintervall $ t_0 $ till $ t_f $ är
$ D = \ int_ {t_0} ^ {t_f} v (t) dt $
Detta är elementär kalkyl. Om du inte visste det redan, vet du nästan säkert inte kalkyl och det här är inte platsen att försöka lära dig en kurs i kalkyl. Hur som helst – du behöver helt enkelt behöva kalkyl för att lösa detta problem.
Kommentarer
- Ja … jag gjorde inte ' t se det här svaret av någon anledning. +1. Bra poäng om att behöva känna till kalkylen redan.
Svar
Nåväl, du kan alltid lägga ett måttband mellan den slutliga positionen och den ursprungliga positionen och se vad den läser 😉
Men allvarligt sett: Jag antar att allt du vet är hastigheten som en funktion av tiden, eller hur? du måste göra en integral. Hastighet definieras som tidsderivat av position,
$$ \ mathbf {v} (t) = \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x} (t)} {\ mathrm {d } t} $$
och om du inverterar den formeln (tekniskt: löser differentialekvationen) för att lösa förändringen i position får du
$$ \ mathbf {x} (t) = \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathbf {v} (t) \ mathrm {d} t $$
Svar
Du använder integrerad kalkyl. Den sträcka som är rest är integralen av hastigheten över tiden.
Om hastigheten var konstant skulle det färdade sträckan vara hastigheten multiplicerad med tiden.
Om hastigheten ändras, vi vet inte vilken hastighet vi ska använda. Lösningen är att dela upp tiden i små bitar – en minut, säg. Hur snabbt färdade du under den första minuten? Multiplicera den hastigheten med en minut för att få den sträcka du har rest under den första bara minut. Hur snabbt reste du under den andra minuten? Multiplicera det med en minut för att få den sträcka som reste i den andra minuten. Lägg till dessa två för att få den totala sträckan under de första två minuterna och upprepa för hela resan . Nu har du en uppskattning av det totala avståndet.
Om hastigheten ändras avsevärt inom en minut misslyckas den här metoden igen. Inga problem, bara dela ner tiden i intervaller på en sekund. Hitta hastigheten i varje sekund, multiplicera med en sekund och lägg upp dem alla. Om hastigheten förändras avsevärt på en sekund, använd intervaller på 0,01 sekunder osv.
Vanligtvis, när du använder mindre och mindre tidsintervall och beräknar det totala avståndet, kommer du att upptäcka att det totala avståndet du beräknar konvergerar till ett visst antal. Du kan till exempel hitta ett avstånd på 10,45 m om du beräknar i bitar på en minut, 10,87 m i bitar på en sekund, 10,88 meter i .01s bitar och 10,88 meter i bitar i 1000 sekunder. Då vet du att det verkliga avståndet är 10,88 m.
Denna process kallas ”ta en integral”. Ibland är det möjligt att hitta integralen exakt utan att dela upp saker i bitar. Till exempel, om hastigheten ändras med konstant hastighet, så hastighet = acceleration * tid för något nummer ”acceleration”, är det sträcka som är exakt 1/2 * acceleration * tid ^ 2. För mer information, läs vilken bok som helst om integral calculus. För att lära dig hur man programmerar dessa algoritmer effektivt, leta efter tekniker för numerisk integration.
Svar
Det beror på om du menar att hitta den slutgiltiga förskjutningen , $$ \ mathbf {D} = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ mathbf {v} \: dt, $$ eller bokstavligen det sträcka . Tänk på skillnaden mellan de två på detta sätt: om du reser från New York till London och tillbaka igen, tänker du längden på båda benen på resan eller bara skillnaden mellan din ursprungliga och slutliga destination? Med ord, reser du (ungefär) 11 000 km, dit och tillbaka, eller (ungefär) 0 km sedan du slutade där du började? Det förstnämnda är det avstånd du har rest, det senare är storleken på din förskjutning.
Om det är det totala avståndet du vill ha, är formeln $$ S = \ int_ {t_0} ^ { t_1} v \: dt, $$ där $ v $ är storleken på din hastighetshastighetsvektor $ \ mathbf {v} $. Observera att detta i allmänhet är annorlunda från storleken på förskjutningen $ D = | \ mathbf {D} | $, såvida inte rörelsen alltid är i en riktning.
Om du känner till hastigheten som en funktion av tiden är du klar. Men om du får banan men inte hastigheten blir det lite mer knepigt.Tänk på Pythagoras teorem eller avståndsformel: $$ \ Delta s ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2. $$ Det är också korrekt i tre dimensioner för oändliga förskjutningar: $$ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2. $$ Därför: $$ \ left (\ frac {ds} {dt} \ right) ^ 2 = \ frac {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2} {dt ^ 2} = v ^ 2. $$ Eller: $$ S = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac { dy} {dt} \ höger) ^ 2 + \ vänster (\ frac {dz} {dt} \ höger) ^ 2} \: dt. $$ Du kan också hitta längder på kurvor som inte ges i termer av tid, men med någon annan parameter, till och med en av koordinaterna (ersätt bara $ t $ med den parametern ovan, t.ex. om du har en kurva som en funktion av $ x $, ersätt sedan varje $ dt $ med $ dx $, och var uppmärksam på $ dx / dx = 1 $).
Svar
I princip, som de andra säger, måste du beräkna integralen av hastigheten över tiden för att bestämma det sträckta avståndet.
Men en icke-konstant hastighet betyder inte nödvändigtvis att funktionen som beskriver hastigheten är komplicerad. I själva verket kanske du kan känna till medelhastigheten genom att bara analysera hastighetsfunktionen.
Säg att hastigheten ökar linjärt med tiden: konstant acceleration. Då vet du starthastigheten (vid A ) och sluthastigheten (vid B ), och du kan enkelt beräkna genomsnittet:
$ $ v_ {avg} = \ frac {v_ {B} – v_ {A}} {t_B – t_A} $$
Svar
Du kan använda ett enkelt sätt att inkludera kalkyl. Hitta först det maximala värdet på s (avstånd / förskjutning). Genom att använda differentieringsformeln: ds / dt.Tillsätt sedan tidsvärdet (t) till s-ekvationen.
EXAMPLE:Lets say t=2 then apply the vale to the s equation say : s=20t-5t^2 =20(2)-5(2)^2 =40-20=20 So the max value of s=20 then multiply with 2 and voila you got your total distance(s=40m). Hoppas att det hjälper.
Svar
Att integrera hastighet är OK, men vanligtvis gör jag enklare saker för att veta svaret.
Det beror på sammanhanget. Reste du sa?
En vägmätare är det perfekta instrumentet. Bilar, cyklar, fotgängare kan använda en.
Jag kan använda en GPS i bilar, bykes, fotgängare, flygplan och havssköldpaddor etc, kompletterat med Google Maps. Lastbilar har registrerat den snabba hastigheten för granskningsändamål (tror jag), det här sättet är mer komplicerat eftersom du måste integrera.
En filmkamera är ibland användbart för att registrera och hålla koll på det utrymme som passeras. Det används i sport och dansare och för att studera kroppens rörelse. I fotbollsmatcher på TV ger de oss ibland avståndet som varje spelare passerade. De måste känna till spelfältets vinkel med inspelningskameran, identifiera spelaren .. och SUM till tidigare data. En summering används mer i den verkliga världen än integration eftersom vi vidtar åtgärder med tidsintervall och ackumuleras till tidigare data. En integral förutsätter att vi har ett kontinuerligt flöde av data.
Om objektet är snabbt jämfört med ljushastighet måste data relativistisk korrigeras som samma om du låtsas mäta utrymmet som passeras när du går en rulltrappa i förhållande till golvet i rulltrappan själv eller den yttre byggnaden.
Hur intressant att våra sinnen har ett automatiskt komplicerat svar .
Att svara ”Om du vill känna till det genomkorsade utrymmet måste du veta hastigheten” glömmer det att veta hastigheten är svårare (behöver veta mer: utrymmet och tiden som konsumeras i varje ögonblick)