Layman ' s förklaring och förståelse för Einstein ' s fältekvationer

Einsteins ekvationer kan löst sammanfattas som huvudförhållandet mellan materia och rymdtidens geometri . Jag kommer att försöka ge en kvalitativ beskrivning vad varje term i ekvationen betyder. Jag måste dock varna potentiella läsare om att detta inte kommer att vara ett kort svar. Dessutom kommer jag att avstå från att försöka härleda ekvationerna på ” elementärt ”, eftersom jag verkligen inte vet om någon.

Matter

På höger sida av ekvationen tion, det viktigaste är utseendet på energi-momentum tensor $ T _ {\ mu \ nu} $ . Det kodar exakt hur materien – förstås i vid bemärkelse, dvs vilken energi (eller massa eller momentum eller tryck) som bär medium – distribueras i universum. För att förstå hur man tolkar index för $ T $ , se min förklaring av metriska tensor nedan.

Den multipliceras med några grundläggande naturens konstanter $ \ Big ($ faktorn $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ men detta är inte av avgörande betydelse: Man kan se dem som bokföringsverktyg som håller reda på enheterna av de kvantiteter som är relaterade till ekvationen. Faktiskt tar professionella fysiker vanligtvis friheten att omdefiniera våra måttenheter för att förenkla utseendet på våra uttryck genom att bli av med irriterande konstanter som detta. Ett särskilt alternativ skulle vara att välja ” reducerade Planck-enheter ”, där $ 8 \ pi G = 1 $ och $ c = 1 $ , så att faktorn blir $ 1 $ .

Differential g eometri

På vänster sida av Einsteins ekvationer hittar vi några olika termer, som tillsammans beskriver rymdtidens geometri. Allmän relativitetsteori är en teori som använder den matematiska ramen som kallas (semi-) Riemannian geometry . I denna gren av matematik studerar man utrymmen som är i en viss mening smidiga och som är utrustade med en -mått . Låt oss först försöka förstå vad dessa två saker betyder.

Släthetsegenskapen kan illustreras med det intuitiva (och historiskt viktiga!) Exemplet på en slät (tvådimensionell) yta i vanligt tredimensionellt utrymme . Föreställ dig till exempel ytan på en idealiserad fotboll, dvs. en 2-sfär. Nu, om man fokuserar sin uppmärksamhet på en mycket liten yta (håll bollen upp mot ditt eget ansikte), verkar det som om bollen är ganska mycket platt. Det är dock uppenbarligen inte globalt platt. Utan hänsyn till matematisk noggrannhet kan vi säga att utrymmen som har den här egenskapen att visas lokalt platta är släta i någon mening. Matematiskt kallar man dem mångfald. Naturligtvis är en globalt plan yta som ett oändligt pappersark det enklaste exemplet på ett sådant utrymme.

I Riemannian geometri (och differentiell geometri mer generellt) studerar man sådana släta utrymmen (grenrör) med godtycklig dimension. En viktig sak att inse är att de kan studeras utan att föreställa sig att de är inbäddade i ett högre dimensionellt utrymme, dvs utan den visualisering vi kunde använda med fotbollen, eller någon annan hänvisning till vad kan eller inte vara ” utanför ” själva utrymmet.Man säger att man kan studera dem, och deras geometri inneboende .

Mätvärdet

När det gäller att studera geometri hos grenrör, är det viktigaste föremål för studier är metriska (tensor). Fysiker betecknar det vanligtvis med $ g _ {\ mu \ nu} $ . På något sätt ger det oss en uppfattning om avstånd på grenröret. Tänk på ett tvådimensionellt grenrör med mått och sätt ett ” koordinatgaller ” på det, dvs tilldela varje punkt en uppsättning av två siffror, $ (x, y) $ . Därefter kan mätvärdet ses som en $ 2 \ gånger 2 $ matris med $ 2 ^ 2 = 4 $ poster. Dessa poster är märkta med prenumerationerna $ \ mu, \ nu $ , som var och en kan väljas till $ x $ eller $ y $ . Mätvärdet kan sedan förstås som en rad matriser:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Vi borde också säg att mätvärdet definieras så att $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , dvs det är symmetriskt med avseende på dess index. Detta innebär att i vårt exempel $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Tänk nu på två punkter som finns i närheten, så att skillnaden i koordinater mellan de två är $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Vi kan beteckna detta med kortfattad beteckning som $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ där $ \ mu $ är antingen $ x $ eller $ y \;, $ och $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ och $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Sedan definierar vi kvadraten på avståndet mellan de två punkterna, kallat $ \ mathrm {d} s \;, $ som

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

För att få en uppfattning om hur detta fungerar i praktiken, låt oss titta på en oändlig två- dimensionellt platt utrymme (dvs. ovan nämnda pappersark), med två ” standard ” plankoordinater $ x, y $ definieras på den av ett kvadratiskt rutnät. Sedan vet vi alla från Pythagoras ”sats att

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Detta visar att det naturliga måttet på platt tvådimensionellt utrymme i detta fall ges av

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ börja {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Nu när vi visste hur ” mäter ” avstånd mellan närliggande punkter , kan vi använda en typisk teknik från grundläggande fysik och integrera små segment för att erhålla avståndet mellan punkter som tas bort ytterligare:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Ge neralisering till högre dimensioner är enkel.

Krökningstensorer

Som jag försökte argumentera i ovan definierar den metriska tensorn geometrin för vårt grenrör (eller rymdtid, i det fysiska fallet) . I synnerhet borde vi kunna extrahera all relevant information om grenrörets krökning. Detta görs genom att konstruera Riemann (krökning) tensor $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , vilket är ett mycket komplicerat objekt som, i analogi med arrayvisualiseringen av mätvärdet, kan betraktas som en fyrdimensionell array, där varje index kan ta $ N $ värden om det finns $ N $ koordinater $ \ { x ^ 1, \ punkter x ^ N \} $ på grenröret (dvs. om vi har att göra med ett $ N $ -dimensionellt utrymme). Den definieras rent utifrån mätvärdet på ett komplicerat sätt som inte är alltför viktigt för tillfället. Denna tensor rymmer i stort sett all information om krökningen på grenröret — och mycket mer än vad vi fysiker vanligtvis är intresserade av. Ibland är det dock bra att ta en titt på Riemann-tensorn om man verkligen vill veta vad som händer.Till exempel garanterar en överallt försvinnande Riemann-tensor ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garanterar att rymdtiden är platt. Ett känt fall där en sådan sak är användbar är i Schwarzschild-mätvärdet som beskriver ett svart hål, som verkar vara enstaka vid Schwarzschild-radien $ r = r_s \ neq 0 $ . Vid inspektion av Riemann-tensorn blir det uppenbart att krökningen faktiskt är ändlig här, så man har att göra med en koordinat singularitet snarare än en ” verklig ” gravitationell singularitet.

Genom att ta vissa ” delar av ” Riemann-tensorn kan vi kasta bort en del av den information som den innehåller i utbyte mot att vi bara behöver hantera ett enklare objekt, Ricci-tensorn:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ punkter x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Detta är en av tensorerna som visas i Einsteins fältekvationer. den andra termen av ekvationerna innehåller Ricci skalar $ R $ , som definieras av återigen kontrakt ( ett snyggt ord för ” som sammanfattar alla möjliga indexvärden för vissa index ”) Ricci tensor, den här gången med inversen metrisk $ g ^ {\ mu \ nu} $ som kan konstrueras från det vanliga måttet med ekvationen

$$ \ sum _ {\ nu \ i \ {x ^ 1, \ punkter, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {och} 0 \ \ text {annars} $$

Som utlovat är Ricci skalar sammandragningen av Ricci tensor och invers mätvärde:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Naturligtvis innehåller Ricci-skalan än en gång mindre information än Ricci-tensorn, men det är ännu lättare att hantera Multiplicera helt enkelt det med $ g _ {\ mu \ nu} $ resulterar återigen i en tvådimensionell matris, precis som $ R _ {\ mu \ nu} $ och $ T _ {\ mu \ nu} $ är. Den speciella kombinationen av krökningstensorer som visas i Einsteins fältekvationer är känd som Einstein tensor

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

Den kosmologiska konstanten

Det finns en term som vi har utelämnat hittills: Den kosmologiska konstanta termen $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Som namnet antyder är $ \ Lambda $ helt enkelt en konstant som multiplicerar mätvärdet. Denna term sätts ibland på andra sidan ekvationen, eftersom $ \ Lambda $ kan ses som någon form av ” energiinnehåll ” i universum, vilket kan vara mer lämpligt grupperat med resten av saken som kodas av $ T _ {\ mu \ nu} $ .

Den kosmologiska konstanten är främst intressant eftersom den ger en möjlig förklaring till den (i) berömda mörka energin som verkar stå för vissa viktiga kosmologiska observationer. Huruvida den kosmologiska konstanten verkligen är icke-noll i vårt universum är en öppen fråga, liksom förklaring av de värderingsobservationer som föreslås för den (det så kallade kosmologiska konstanta problemet aka ” den värsta förutsägelsen av teoretisk fysik någonsin gjort ”, ett av mina personliga intressen).

---

PS. Som påpekas i kommentarerna, om du gillade detta kan du också njuta av att läsa den här frågan och svaren på den, som adresserar den andra viktig ekvation för allmän relativitet, som beskriver rörelsen för ” testpartiklar ” i böjda rymdtider.

Einsteins ekvation relaterar materiens innehåll (ekvations högra sida) till geometrin (vänster sida) Det kan sammanfattas med ”massa skapar geometri och geometri fungerar som massa”.

För mer information, låt oss överväga vad en tensor är. En två-index tensor (vilket är vad vi har i Einsteins ekvation) kan betraktas som en karta som tar en vektor in i en annan vektor. Till exempel tar spänningsenergitensorn en positionsvektor och returnerar en momentvektor (matematiskt, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, och jag blandar samman vektorer och samvektorer överallt för att förenkla diskussionen). Tolkningen är att höger sida av Einsteins ekvation berättar för oss det momentum som passerar genom en yta som definieras av positionsvektorn.

Vänster sida kan också tolkas på detta sätt. Ricci-krökningen $ R _ {\ mu \ nu} $ tar en positionsvektor och returnerar en vektor som berättar hur mycket krökningen förändras genom ytan definierad av $ \ vec {x} $. Andra och tredje termerna, som båda har faktorer för metriska $ g _ {\ mu \ nu} $, berättar hur mycket avståndsmätningar som ändras när vi reser längs vektorn. Det finns två bidrag till denna förändring av avståndet – den skalära krökningen $ R $ och $ \ Lambda $. Om $ R _ {\ mu \ nu} $ är ”krökning i en riktning” är $ R $ den ”totala krökningen”. $ \ Lambda $ är en konstant som berättar hur mycket medfött energi tomt utrymme har, vilket gör att alla avstånd blir större för $ \ Lambda > 0 $.

Så , läser ekvationen höger till vänster, ”Einsteins ekvation berättar för oss att momentum (rörlig massa) orsakar både krökning och en förändring i hur avstånd mäts.” Läsning från vänster till höger, ”Einsteins ekvation berättar för oss att krökning och förändring avstånd fungerar precis som rörlig massa. ”

Kommentarer

• Wow – bra förenklad förklaring.
• @levitopher Varför det ’ kallas ” stress ” i stressenergi?
• Det var det här OK: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Steg till steg-härledning av Einstein Field Equations (EFE) på min blogg: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Betydelsen av EFE (av Wheeler): ”Rymdtid berättar materia hur man ska röra sig, materienergi berättar rums tid hur man böjer”

Enkla ord för EFE: ”Geometri” = ”Krökning” (ingen vridning i allmän relativitet innebär att energimomentet är symmetriskt, eftersom det visar sig vara fallet för metriska, Ricci tensor och Einstein tensor).

En allvarligare betydelse är följande:

-Vänsterhänt sida: Einstein tensor är gjord av två (tre om du räknar den kosmologiska termen) bitar. De mäter krökningen som orsakas av att en lokal rymdtidsmätning inte är konstant (Minkowski-måttet är platt rymdtid, tyngdkraften påslagen innebär att måttet är ett fält, dvs beroende av de lokala rymdtidskoordinaterna), och det innebär en lokal krökning mätt med krökningsskalaren och Ricci-tensorn, som kombinerades på det sätt som Einstein (och Hilbert) gjorde, ger en divergenceless ström (dvs bevarande av energimoment genom att jämställa med höger sida).

-Högerhänt sida: energimoment i fält, vilket gör att tid-tid förvrängning / kurva / böja. Du kan lägga till den här sidan den kosmologiska termen, sedan kallad mörk energi … Det ger att mörk energi på något sätt (med viss omsorg) är energin i vakuumrums-tid. Och vi tror att det inte bara är noll utan den viktigaste kosmiska ingrediensen som gör materienergin just nu (cirka 70%, WMAP + PLANCK-satelliter verkar hålla med om detta …).