Vad är den mest allmänna formen för vågekvationen? Är det $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Kan till exempel $ \ frac {\ partiell ^ 2 \ Psi} {\ partiell t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ vara en vågekvation? Om ja, vad är lösningen i så fall.
Svar
Jag är inte säker på vad du menar med $ cte $ , men jag antar att det är något konstant men jag kanske tolkar fel
Vi pratar ofta om två klasser av differentiell ekvation, homogen och inhomogen. Denna skillnad är roten till din fråga, \ börjar {ekvation } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {ekvation} är den homogena formen av vågekvationen, medan \ begin {ekvation} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {ekvation} är den inhomogena vågekvationen ($ u (\ vec {r}, t) $ kan också vara konstant om vi vill). Detta uppstår överallt. Ett exempel är att elektromagnetisk strålning i närvaro av laddningar och strömmar styrs av den inhomogena vågekvationen, den homogena formen är endast giltig när $ \ rho = 0 $ och $ \ vec {J} = 0 $. Beroende på vem du frågar tror jag att de flesta fortfarande skulle säga inhomen ogeneous wave equation is a wave equation, but that ”s up to taste as its s solutions can end up have a very different character to the homogeneous.
I allmänhet finns det inte mycket jag kan säga om dessa lösningar eftersom de ”beror mycket på formen av $ u $, men jag är säker på att vissa googling ger dig många exempel.
Kommentarer
- Perfekt. Och hur är det med dämpad vågekvation? Vad är dess form?
Svar
Mason hanterade skillnaden mellan inhomogena och homogena differenti ekvationer, men om en talar om den mest allmänna möjliga formen av vågekvationen, det är,
$$ \ kvadrat \ phi ^ {i_1 \ punkter i_m} _ {j_1 \ punkter j_n} (x) = f ^ { i_1 \ prickar i_m} _ {j_1 \ prickar j_n} (x) $$
där båda fälten är rangordnade $ (m, n) $ tensorer, påverkade av Laplace-Beltrami-operatören $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ vars verkan på tensorerna beror på både mätvärdet och deras rang. För ett skalärt fält med metriska $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ minskar det till den mest kända formen av vågekvationen, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Ovanstående kan också omarbetas på språket för olika former.)
På ett sätt täcker detta dock inte alla möjligheter. Till exempel, i allmän relativitet, för en störning $ h_ {ab} $ av mätvärdet, är den första ordningsändringen i krökningen,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ kvadrat h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
vilket förstås som den krökta rymd ”vågoperatören” i litteraturen eftersom den verkligen medger våglösningar men är helt klart inte ekvivalent med vågekvationen ovan eftersom den innehåller andra termer som involverar krökningstensorer. Således är den ”mest allmänna formen” för vågekvationen inte något vi verkligen kan skriva ner, såvida inte din idé om det är strikt $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
