Detta är låg noggrannhet – men ändå enkelt – svar

Det låter dig bara beräkna radial inriktningskonfiguration för planeterna.

Om du vill ha en approximation, låt oss säga, du ungefär planeternas position som händer i en klocka kan du räkna ut matten med något liknande detta.

Antag att $ \ theta_i $ är den ursprungliga vinkeln för planeten $ i $ vid tiden $ t_0 $ – mätt från en godtycklig men fast position, och $ l_i $ är längden på året – i dagar – för planeten $ i $.

Sedan återupptas det för att lösa detta ekvationssystem:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Härifrån skulle du helt enkelt tillämpa Kinesiska återstående teorem .

Att hitta minsta x, ger dig den vinkel som planeten som vid $ t_0 $ hade vinkel $ \ theta_i = 0 $ skulle ha rest tills en inriktning -konfiguration uppnåddes. A Sammanfattningsvis väljer du Jorden som den nämnda planeten och delar sedan den vinkeln med en fullständig revolution ($ 360 ^ {o} $) så får du antalet år för att konfigurationen ska uppnås – från $ t_0 $ -konfigurationen.

De olika $ \ theta_i $ i grader för alla planeter den 1 januari 2014 – du kan använda detta som din $ t_0 $:

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Källa

De olika $ l_i $ i dagar för alla planeter:

\ begin {align} Mercury & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Slutligen under ett heltal värderar en proximering och använder detta online-lösare för ekvationssystemet är svaret $ x = 4.0384877779832565 \ gånger 10 ^ {26} $ som dividerat med $ 360 ^ {o} $ ger dig ungefär $$ 1.1218 \ gånger 10 ^ {24} \ quad \ text { år} $$

Redigera 1

Hittade precis den här webbplatsen du kanske vill leka med. Det är en interaktiv flashapplikation med planeternas exakta position.

Jag vet också att all information kan erhållas från denna NASA-sida och det är så exakt du kan få, men det är bara obegripligt för mig nu. Jag kommer att försöka revidera det senare när jag hittar tid.

Också den här boken av Jean Meeus som heter Astronomical Algorithms täcker alla grundläggande euqationer och formler – det har dock inget att göra med programmeringsalgoritmer.

Edit 2

Seeing att du är programmerare, kan det vara värt för dig att kolla in NASA-webbplatsen som jag nämnde ovan, data för alla planeterna kan till och med nås via $ \ tt {telnet} $.Eller den här Sourceforge-webbplatsen där de har implementeringar för många av de ekvationer som beskrivs i boken som också nämns ovan.

Kommentarer

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ fungerar detsamma i kommentarer. Jag tror att ditt tillvägagångssätt är det bästa du kan göra utan överdrivna simuleringar. Allt du behöver göra är att infoga faktiska data; det har varit delen som fick mig att tveka att ge ett svar.
• @Gerald oh jag trodde att ekvationsmarkering inte fungerade ’ i kommentarer. Ja, jag ’ saknar data, särskilt $ \ theta_i $. Jag kommer att lägga till olika $ l_i $ -information.
• Hur kunde det solarsystemet visa planeternas exakta relativa positioner, när deras avstånd från solen inte är korrekt? Det kan visa varje planets position i förhållande till solen korrekt isolerat och därmed vara bra för den här frågan, men inte för att hitta konjunktioner.
• @LocalFluff Det är sant. Detta ger bara svar på radiella justeringskonfigurationer. Redigerad.
• Det finns flera misstag i det här svaret. Först använder jag alla siffror i dina tabeller (vilket innebär att jag konverterar till centidgrees och centidays) får jag faktiskt $ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $ (från samma onlineverktyg), vilket uppgår till $ 1,29 \ times10 ^ {33 } $ år Jag vet inte ’ hur du fick det lägre värdet, men jag misstänker starkt att du har utelämnat några siffror. För det andra visar detta att när fler siffror läggs till tenderar lösningen att vara oändlig: det rätta svaret är: radiell inriktning inträffar aldrig . Slutligen, förutsatt att planeterna ’ banor följer denna enkla rörelse är bara fel .

Det rätta svaret är ” aldrig ”, i flera skäl. Första , som påpekas i Florins kommentar, är planetens banor inte plana och kan därför omöjligt anpassas , även om varje planet kunde placeras godtyckligt i sitt banplan. Andra , till och med ren radiell inriktning händer aldrig eftersom planetens perioder är obestämbara – deras förhållanden är inte rationella siffror. Slutligen utvecklas , planeternas banor över tidsskalor på miljoner år, främst på grund av deras ömsesidiga gravitation dra. Denna utveckling är (svagt) kaotisk och därmed oförutsägbar under mycket långa tider.

fel svar från harogaston approximerar i huvudsak omloppsperioderna av närmaste viktiga siffror, vilket ger mycket lång tid (även om han gjorde det fel med en faktor på bara $ 10 ^ {16} $).

En mycket mer intressant fråga (och kanske den du faktiskt var intresserad av ) är hur ofta de 8 planeterna nästan ligger radiellt . Här kan ” nästan ” helt enkelt betyda ” till inom $ 10 ^ \ circ $ sett från solen ”. Vid ett sådant tillfälle kommer planets ömsesidiga tyngdkraft att anpassas och därmed resultera i starkare omloppsförändringar än genomsnittet.

Varje uppskattning av den gemensamma perioden på mer än två planeter (dvs efter hur lång tid de ungefär inriktas i heliocentrisk längd igen?) beror mycket starkt på hur mycket avvikelse från perfekt inriktning är acceptabelt.

Om perioden för planet $ i $ är $ P_i $, och om den acceptabla avvikelsen i tiden är $ b $ (i samma enheter som $ P_i $), då den kombinerade perioden $ P $ av alla $ n $ planeter är ungefär $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$ så att minska den acceptabla avvikelsen med en faktor 10 innebär att den gemensamma perioden ökar med en faktor på $ 10 ^ {n-1} $, vilket för 8 planeter är en faktor på 10.000.000. Så det är meningslöst att citera en gemensam period om du inte också anger hur mycket avvikelse som var acceptabelt. När den acceptabla avvikelsen minskar till 0 (för att uppnå ”perfekt anpassning”), så ökar den gemensamma perioden till oändlighet. Detta motsvarar flera kommentatorer ”uttalar att det inte finns någon gemensam period eftersom perioderna inte är proportionerliga.

För planeterna” perioder listade av harogaston, $ \ prod_i P_i \ ungefär 1,35 \ gånger10 ^ 6 $ när $ P_i $ mäts i julianår 365,25 dagar vardera, så den vanliga perioden i år är ungefär $$ P \ approx \ frac {1.35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ om $ b $ också mäts i år. Om perioderna är ungefärliga till närmaste dag, då $ b \ ca 0,00274 $ år och $ P \ ca 1,2 \ times10 ^ {24} $ år. Om perioderna approximeras till närmaste 0,01 dag, då $ b \ ca 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ och $ P \ ca 1,2 \ times10 ^ {38} $ år.

Avledningen av ovanstående formel är som följer:

Ungefärliga planeterna ”perioder med multiplar av en basenhet $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ där $ p_i $ är ett heltal. Då är den gemensamma perioden högst lika med produkten för alla $ p_i $. Den produkten mäts fortfarande i enheter på $ b $; vi måste multiplicera med $ b $ för att gå tillbaka till de ursprungliga enheterna. , den gemensamma perioden är ungefär $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Ovanstående härledning tar inte hänsyn till att $ p_i $ kan ha gemensamma faktorer så att anpassningen sker tidigare än $ \ prod_i p_i $ antyder. Huruvida två $ p_i $ har gemensamma faktorer eller inte beror dock starkt på den valda basperioden $ b $, så det är i själva verket en slumpmässig variabel och påverkar inte det globala beroendet av $ P $ på $ b $.

Om du uttrycker den acceptabla avvikelsen i termer av vinkel snarare än tid , förväntar jag mig att du får svar som beror på storleken på den acceptabla avvikelsen som starkt som för ovanstående formel.

Se http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html för en graf på $ P $ som en funktion av $ b $ för alla planeter inklusive Pluto.

EDIT:

Här är en uppskattning med acceptabel avvikelse i termer av vinkel . Vi vill att alla planeter ska ligga inom ett breddintervall $ δ $ centrerat på den första planetens longitud; längden på den första planeten är fri. Vi antar att alla planeter rör sig i samma riktning i cirkelformade banor runt solen.

Eftersom planeterna ” perioder är inte proportionerliga, alla kombinationer av planeternas longituder uppstår med samma sannolikhet. Sannolikheten $ q_i $ att vid någon specifik tidpunkt är planetens longitud $ i > 1 $ inom segmentet för bredden $ δ $ centrerad på planetens 1 longitud är lika till $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Sannolikheten $ q $ att planeterna 2 till $ n $ ligger alla inom samma segment av longitud centrerad på planet 1 är då $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

För att översätta sannolikheten till en genomsnittlig period måste vi uppskatta hur mycket tid alla planeter är inriktade (till inom $ δ $) varje gång de är inriktade.

De två första planeterna som tappar sin ömsesidiga inriktning är de snabbaste och långsammaste av planeterna. Om deras synodiska period är $ P _ * $, kommer de att vara i linje under ett intervall $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ och sedan vara ur linje under en tid innan de kommer i linje igen Så, varje inriktning av alla planeter varar ungefär ett intervall $ A $, och alla dessa inriktningar täcker tillsammans en bråkdel $ q $ av alla tider. Om den genomsnittliga perioden efter vilken en annan inriktning av alla planeter sker är $ P $, då vi måste ha $ qP = A $, så $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ vänster (\ frac {360 °} {δ} \ höger) ^ {n-2} $$

Om det bara finns två planeter, så är $ P = P _ * $ oavsett $ δ $, vilket är som förväntat.

Om det finns många planeter är den snabbaste planeten mycket snabbare än den långsammaste, så då är $ P _ * $ nästan lika med den snabbaste planetens omloppsperiod.

Även här är uppskattningen för genomsnittlig tid mellan på varandra följande inriktningar mycket känslig för den valda avvikelsegränsen (om det är mer än två planeter inblandade), så det är meningslöst att citera en sådan kombinerad period om du inte också nämner vilken avvikelse som var tillåten.

Det är också viktigt att komma ihåg att (om det finns fler än två planeter) dessa (nästan) inriktningar av dem alla inte förekommer regelbundet intervaller.

Låt oss nu ansluta några nummer. Om du vill att alla åtta planeter ska vara inriktade inom 1 longitud, är medeltiden mellan två sådana inriktningar ungefär lika med $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ banor på den snabbaste planeten. För solsystemet är kvicksilver den snabbaste planeten, med en period på cirka 0,241 år, så då är den genomsnittliga tiden mellan två inriktningar av alla åtta planeter inom en longitud ca $ 5 × 10 ^ {14} $ år.

Om du redan är nöjd med en inriktning inom 10 longitud, är genomsnittsperioden mellan två sådana inriktningar ungefär lika med $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ banor av kvicksilver, vilket är ungefär 500 miljoner år.

Vad är den bästa anpassningen som vi kan förvänta oss under de kommande 1000 åren? 1000 år är cirka 4150 banor av kvicksilver, så $ (360 ° / δ) ^ 6 \ ca 4150 $, så $ δ \ ca 90 ° $. I ett intervall på 1000 år valt slumpmässigt finns det i genomsnitt en inriktning av alla 8 planeterna inom ett segment på 90 °.

Tekniskt sett är det riktiga sättet att hitta perioden mellan inriktning av alla 8 planeterna att hitta LCM för alla 8 av deras årslängder.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Jag förstår att detta är en grov uppskattning eftersom dessa är avrundade till närmaste heltal, men det ger en bra idé av det antal dagar det skulle ta.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Det är hur många år.

Kommentarer

• Detta verkar vara samma metod som beskrivs i Caters ’ s svar r .