Vet någon vad som skulle vara $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, där $ t ^ a $ etc är Gell-Mann-matriser? Detta uppstod när man analyserade färgfaktorn för Compton-effekten för QCD. Så, måste vara ganska vanligt, men jag kunde inte hitta en ordentlig referens. I allmänhet finns det någon referens för spår av godtyckligt antal Gell Mann-matriser?
Svar
Jag tar SU (N) generatorer i den grundläggande representationen normaliserades så att $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Kommutatorn för två generatorer definierar strukturkonstanterna $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Antikommutatorn för två generatorer är
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
där med $ 1 $ menar jag identitetsmatrisen och $ d ^ {abc} $ är ”d-symbolen” definierad som
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ vänster [\ vänster \ {T ^ a, T ^ b \ höger \} T ^ c \ höger] $$
Sedan finns det en användbar identitet
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + om ^ {cde} d ^ {abe} \ höger) $$
Jag föreslår att du refererar till http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf där olika spårningsidentiteter samlas in. För ditt fall, se ekvation 75 i bilaga B, sida 9.
Kontrollera normaliseringen av generatorerna innan du använder denna identitet.
Kommentarer
- Som regel larmas endast svar aktivt, för om länken blir död är svaret värdelöst. Använd Mathjax för att redigera i lämpliga ekvationer så att svaret kan stå ensamt.
- @Angela om detta svarar på din fråga bör du markera det som besvarat.