QM-spinoperatören kan uttryckas i termer av gammamatriser och jag försöker göra en övning där jag bevisar en identitet som använder $ \ gamma ^ 5 $ och $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
I mitt första försök gjorde jag detta direkt i Dirac-representationen men i övningen anges att jag inte kan göra det, kan någon ge råd? Finns det någon identitet eller ett trick som skulle göra det möjligt för mig att göra detta?
För att klargöra är $ \ alpha $ följande matris där elementen som inte är noll är Pauli-matriserna:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
där
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Kommentarer
- Vad är $ \ alpha $ och $ {\ bf S} $ uttryckligen?
- Alpha är matrisen vars poster inte finns i den ledande diagonalen är Pauli-matriser, men inte säker på hur det hjälper.
- Hur förväntar du oss att vi hjälper dig att bevisa en identitet utan en tydlig definition av alla inblandade symboler?
- @Hollis Visst kan du åtminstone säga vad $ \ alpha $ ska betyda. Det ' är inte en standardnotation som gammamatriserna är.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ är lika standard som $ \ gamma $ -matriserna. De flesta vanliga fysikböcker introducerar $ \ mathbf {\ alpha} $ redan före $ \ gamma $ -matriserna.
Svar
Jag följer konventionerna på Wikipedia med följande definitioner $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ $$ där $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Med detta sagt noterar vi nu $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Explicit, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Sedan, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alfa ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Således $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$