Hittills definierade vi i vår föreläsning skapande operatörer $ a ^ {\ dolk} _ {n} $ i på följande sätt, att vi sa:
Någon fick dig ett antisymmetriskt eller symmetriskt N- partikel-tillstånd och nu sätter $ a ^ {\ dolk} _ {n} $ en annan partikel i tillstånd n, så att vi slutar upp med ett symmetriskt / antisymmetriskt N + 1-partikeltillstånd. Denna tolkning är på något sätt tydlig för mig i den meningen att dessa $ a ^ {\ dolk}, a $ operatörer undviker de besvärliga slater-determinanterna och så vidare. Trots har vi fortfarande att göra med väldefinierade symmetriserade / antisymmetriiserade produkttillstånd som förlängs eller reduceras av ett tillstånd, som är dolda bakom denna notation.
Nu definierade vi också fältoperatörer i QM med $ \ psi ^ {\ dolk} (r) = \ sum_ {i; \ text {alla stater}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dolk}. $ Vi sa att de skapar en partikel i position $ r $ . På något sätt är det inte klart för mig vad detta betyder:
Att skapa en partikel i en exakt position $ r_0 $ i QM skulle innebära att vi nu har ett ytterligare tillstånd $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ i vår slater determinant. Jag tvivlar på att detta är tanken bakom detta. Men eftersom $ a_i ^ {\ dagger} $ -operatörerna agerar på $ N $ -partikelstatus och kartlägger till $ N + 1 $ partikelstatus, måste detsamma vara sant för $ \ psi ^ {\ dolk} (r) $ . Ändå har jag svårt att tolka resultatet.
Om något är oklart, vänligen meddela mig.
Svar
$ \ psi_i $ i din summa behöver inte vara deltafunktioner. Du kan tänka till exempel som att de är energifunktioner $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$ vilket skapar en partikel på $ r $ betyder att du får en superposition av alla möjliga sätt en partikel kan vara på $ r $ (i detta specifika val av bas): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dolk (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {complex numbers}} | i \ rangle $$ där $ | 0 \ rangle $ är vakuumtillståndet (eller marktillstånd om du vill) och $ | i \ rangle $ är Fock-tillstånd med en partikel i n-th-läget. Du kan tänka på denna ekvation som att ange för varje $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ är sannolikhetsamplituden för att hitta partikeln vid positionen $ r $ om du vet att den är i staten $ i $.
Kommentarer
- tolkningen av att skapa en superposition av alla möjliga sätt som en partikel kan komma till positionen $ r $ ser meningsfull ut för mig. Jag menar vad vi gör är, om jag förstod dig rätt, att vi skapar en partikel i vilken som helst egenstat och letar efter sannolikhetsamplituden att denna partikel är i position $ r $. Vad jag inte ser ' är hur denna uppfattning är relaterad till den faktiska skapandet av en partikel i position $ r $. Om du tänker på det är det två olika saker. Kan du försöka förklara vad vi vill modellera med den här fältoperatören?
- Det beror verkligen på sammanhanget. " partikel " tolkning är inte alltid lämplig, mer allmänt kan du tänka på dessa operatörer som skapande / förintande av kvanttillstånd. I samband med QFT är dessa tillstånd verkligen (vanligtvis) partikelstatus och $ | 0 \ rangle $ staten utan partiklar, och därmed terminologin. Men till exempel i NRQM är detta ofta inte sant, och " vakuumtillståndet " är i det här fallet bara systemets marktillstånd . De " skapar " / " förstör " stater i den meningen att de skickar ett givet Fock-utrymme till ett annat med ett ytterligare / mindre tillstånd av det specifika slaget.
Svar
Tänk på det som en grundförändring. $ a_i ^ \ dolk $ skapar en partikel i staten $ | i \ rangle $. Nu kan detta tillstånd $ | i \ rangle $ skrivas i termer av positionstillstånden $ | r \ rangle $ som $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ så att skapa en partikel i detta tillstånd är ekvivalent med att skapa en partikel i en superposition av positionstillstånd med lämplig vikt $ \ psi_i (r) $. På motsvarande sätt kan en partikel lokaliserad i $ | r \ rangle $ beskrivas som att den är i en superposition av tillståndet $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ och därmed skapar en partikel i staten $ | r \ rangle $ definieras operatören $ \ psi ^ \ dolk (r) $ av operatören $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dolk $.
Kommentarer
- ledsen, men det här svaret är mycket förvirrande. du verkar summera över positioner. Observera att den positionen inte är diskret! Jag har allvarliga problem med att förstå dina $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: att ' s bara notationer (tänk på en diskretiserad version av rymden). Men jag bytte bara till integral, om det får dig att må bättre.