Förbehåll: Den första delen av svaret tar en mycket teknisk inställning till BRST-proceduren och arbetar dessutom med ett slutligt dimensionellt fasutrymme för bekvämlighet. Det kan verka ganska långt ifrån förståelsen för spöken i den genomsnittliga tillämpningen av BRST-transformationer eller spöken som ett verktyg.

---

Den allmänna uppfattningen om spöken

Det finns många olika nivåer där man kan diskutera utseende av spöken, anti-spöken och deras antal i begränsade Hamiltoniska mekanik (vilket är detsamma som mätteorier på Lagrangian nivå). En av dem är delvis skissad i detta svar från mig , där BRST-operatören visas som skillnaden i mätaren Lie algebra cohomology.

Vi kommer att titta på ett lite annorlunda sätt att se på spöken, nämligen genom att ” utöka fasutrymmet ”, i detta svar, även om detta kan ses som en omformulering av Lie algebra-kohomologinsyn i ” fasrymdtermer ”:

BRST formalism, på en abstrakt nivå, försöker implementera reduktionen till en begränsningsyta $ \ Sigma $ i ett fasrymd $ X $ inte genom att lösa begränsningarna $ G_a $ , men genom att söka efter en lämplig förstoring av fasutrymmet så att funktionerna i det förstorade fasutrymmet har en graderad härledning $ \ delta $ som bor på dem vars ho mology beräknar funktionerna på tvångsytan, vilka är de måttinvarianta observerbara. ¹

Det förstorade fasutrymmet erhålls enligt följande:

1. En funktion på tvångsytan $ \ Sigma $ ges av kvoten av alla fasutrymme-funktioner modulo funktionerna försvinner på ytan. Varje funktion $ f $ som försvinner på ytan ges av $$ f = f ^ a G_a $$ där $ f ^ a $ är godtyckliga fasutrymmesfunktioner. Om man introducerar så många variabler $ P_a $ som det finns begränsningar och definierar $ \ delta P_a = G_a $ samt $ \ delta z = 0 $ för alla ursprungliga fasrymdvariabler, sedan bilden av $ \ delta $ är exakt alla funktioner som försvinner på $ \ Sigma $ . För att $ \ delta $ ska betygsättas måste $ P_a $ tas för att vara av grad $ 1 $ . Graden av en funktion som helt enkelt graden av den som ett polynom i $ P_a $ kallas anti- spöknummer . ²

2. $ P_a $ är ensamma och de behöver konjugerade variabler. Dessa ges av så kallade longitudinella 1-former på begränsningsytan, där ett längsgående vektorfält på begränsningsytan är ett som är tangent till mätbanorna. Deras dualer är 1-former som endast definieras på längsgående vektorer. Det borde vara geometriskt intuitivt (och det är faktiskt sant) att de längsgående vektorfälten är just de fält som genererar mätomvandlingarna (de är återigen bara en annan inkarnation av mätaren Lie algebra). Därför finns det så många grundläggande längsgående 1-former $ \ eta ^ a $ som det finns begränsningar, och eftersom det finns antispöken $ P_a $ .Eftersom det finns den naturliga åtgärden $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ per definition av det dubbla, är det också naturligt att bara definiera Poisson-fästet på ett förstorat fasutrymme med koordinater $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ av $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ så att paren $ (\ eta ^ a, P_a) $ fungerar som ytterligare par av kanoniska variabler. Derivationen utvidgas till $ \ eta $ helt enkelt med $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Funktioner på detta förstorade fasutrymme tilldelas nu ett rent spöknummer baserat på deras grad i $ \ eta $ .

Med tanke på vilken funktion som helst i det förstorade fasutrymmet är spöket nummer är helt enkelt det rena spöksnumret minus antispöksnumret.

Det fina med spöknumret är att det är laddningen för en viss generator – den mäts av operatören ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ som uppfyller $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ för alla funktioner av bestämt spöke siffra. Spöknumret är fysiskt viktigt eftersom det att vara ett tillstånd av spöknummer noll är, tillsammans med villkoret att vara BRST-invariant, det nödvändiga och tillräckliga tillståndet för att vara ett fysiskt tillstånd. nu erhåller BRST-differentieringen genom att lägga till en annan differential $ \ mathrm {d} $ till $ \ delta $ , och visar att $ \ delta + \ mathrm {d} $ ger, när ” små störningar ” läggs till den, den nilpotenta operatören som krävs för BRST-formalismen. (Härledningen av detta är väldigt tekniskt och ibland känd som ” teoremet om homologisk störningsteori ”). $ \ mathrm {d}, \ delta $ , man finner att de mått-invarianta funktionerna är just de invarianta under BRST-operatören med inget spöknummer, så kvantteorin bör också införa denna begränsning.

---

^{1 ” vars homologi beräknar ” är matematik talar för att det är en operatör $ \ delta $ , där mätar-invarianta funktioner är exakt funktionerna med $ \ delta (f) = 0 $ och där vi identifierar $ f $ och $ g $ om det finns en $ h $ så att $ \ delta (h) = f – g $ . Detta blir också lite mer komplicerat när det gäller reducerbara begränsningar.}

^{2 När det gäller irreducerbara begränsningar beräknar detta redan korrekt mätaren -variantfunktioner, och man kan i princip stanna här. Det är dock otillfredsställande att ha lagt till $ P_a $ , men inte ha lämpliga konjugerade variabler för dem i Hamilton-formalismen.}

^{3 Denna definition är den diskreta, icke-konforma analogen till uttrycket för $ U $ som står i frågan.}

^{Huvudreferens: ” Kvantisering av mätsystem ” av Henneaux / Teitelboim}

---

Det specifika fallet med $ bc $ -CFT

En allmän ” $ bc $ -CFT ”, dvs en 2D överensstämmande fältteori med spökliknande fält ges av spökåtgärden $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ när fälten $ b $ och $ c $ har konforma vikter $ h_b $ respektive $ h_c = 1 – h_b $ . Fasutrymme fungerar med spöknummer noll översätts nu till operatörer med konform vikt $ 1 $ (eftersom de har lika många spöken och antispöken i sig, och vikten beter sig tillsats

Detta visar att primära fysiska tillstånd (av tillståndsfältkorrespondensen för 2D CFT) i en sådan teori nödvändigtvis måste ha en konform vikt $ 1 $ .Detta är viktigt i strängteori, där en $ bc $ -CFT med $ h_b = 2 $ är naturligt läggs till $ X $ -CFT i världsarkfälten. För en generisk CFT kan alla möjliga primärer i princip vara fysiska tillstånd, men BRST-proceduren tvingar spöknummer nollstatus, dvs fält med vikt $ 1 $ , som endast tillåtna fysiska tillstånd.

Kommentarer

• Detta är ett mycket detaljerat svar men kan du också ge ett exempel på användningen av spöknummer i CFT specifikt ?
• @JakeLebovic: Jag lade till en kort förklaring av hur kravet på noll spökantal återspeglas i fallet med strängteori (vilket är det enda fallet jag känner till där spöken förekommer i en CFT).

I den konforma fältteorin på planet måste du definiera en inre produkt i tillstånd i din teori. I bosonisk strängteori är tillståndsutrymmet, dvs. Hilbert-rummet i teorin $ \ mathcal {H} $, utrymmet för representationen av Virassoro algebra:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

I den radiella kvantiseringen av CFT på det komplexa planet, till varje tillstånd i Hilbert-rummet i teorin, kan man associera en lokal operatör på det komplexa planet, den så kallade korrespondens mellan operatör och stat . BPZ inre produkt i detta Hilbert-utrymme kan definieras. Det första är att definiera de asymptotiska tillstånden $ | 0 \ rangle $ och $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identitetsoperatör} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {vid ursprunget} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Identitetsoperatör} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {vid oändlighet} \, \, z = \ infty $$

Dessa två kan relateras av en konform transformation $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Det kan visas att under denna konforma transformation omvandlas lägena $ \ hat {\ alpha} _n $ för ett fält $ \ Phi $ av konformell dimension $ h _ {\ Phi} $ som:

$$ \ hatt {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Så under den konforma omvandlingen har vi följande:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Detta för Virasoro-algebra innebär att $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ och $ L_1 $ och deras anti-holomorfa motsvarigheter $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ och $ \ overline {L} _1 $ utplånar både $ | 0 \ rangle $ och $ \ langle0 | $. Men dessa lägen genererar gruppen $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, gruppen av global konform transformation på Riemann-sfären. Således vet $ | 0 \ rangle $ is som $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – invariant vakuum.

Å andra sidan, med hjälp av $ (1) $ kan det visas att $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ och $ b_1 $ också utplånar både $ | 0 \ rangle $ och $ \ langle0 | $. Kanonisk kommuteringsrelation för $ bc $ -systemet visar att:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

så att lägena $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ och $ c_1 $ utplåna ingen av $ \ rvert0 \ rangle $ och $ \ langle0 \ rvert $. Det första matriselementet utan noll för $ bc $ -systemet på Riemann-sfären är alltså:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

BPZ-konjugationen dvs. relation (1) bryter mot spöknumret med 3 enheter. Åtgärden i $ bc $ -systemet har följande spöknummersymmetri:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Motsvarande ström är:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

I vilken $: \ cdots: $ betecknar normal ordning.

Ursprunget till brott mot spöknummer som beskrivs ovan är geometriskt. $ j $ är fermionantalströmmen för kirala fermioner som har icke-konvertering heltalssnurr (både $ b $ och $ c $ har heltalssnurr.) Så det har gravitationell anomali:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

I vilken $ \ lambda $ är den överensstämmande dimensionen på $ b $. Genom att integrera detta kan man se att spöksnumret kränker på ett släkt $ g $ Riemann-yta (världsark för sluten strängteori) är $ 3 (g-1) $. Vikten av spökström är att den bestämmer S-matriselementen som inte är noll i CFT.