Så vitt jag förstår är gravitationell bindningsenergi för en viss fördelning av massan den negativa av dess gravitationella självpotentialenergi.
Jag försökte beräkna den senare för en solid sfär med radie $ R $, massa $ M $ och enhetlig densitet.
Genom skalsatsen (eller Gauss gravitationslag) ges fältstyrkan på ett avstånd $ r $ från sfärens centrum av
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
där $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ är massan innesluten i en sfär med radie $ r $.
Gravitationspotentialen vid en avståndet $ r $ skapat av denna distribution är således
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Den självgravitationspotentialenergin är summan av gravitationspotentialenergierna $ U \ cdot dm $ över alla masselementen $ dm $ i fördelningen.
Låt oss fortsätta med skalintegration. Massan som finns i skalet med inre radie $ r $, yttre radie $ r + dr $ är helt enkelt
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Den självpotentialenergi hos sfär är således
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
vilket är exakt hälften av rätt svar.
Jag kollade mitt arbete flera gånger för enkla misstag men jag kan inte tycka hitta källan till faktorn $ 2 $ -fel. Detta får mig att tro att det finns något fundamentalt fel med hur jag beräknade energin.
Var är problemet?
Kommentarer
- I din MathJax du ' använder \ big för stora parenteser, vilket inte ' t fungerar. Använd matchande \ vänster och \ höger istället. \ Big är en fast storlek, medan \ vänster och \ höger automatiskt skalas till den storlek som behövs för det bifogade innehållet i parenteserna.
Svar
Frågan är hur du formar dina skal — oavsett om de kommer inifrån eller utanför de tidigare skalen. För bindande energi betyder detta mängden energi som krävs för att successivt ta bort varje på varandra följande skal till oändlighet. Således måste potentialen beräknas med hänsyn till oändligheten, inte ursprunget; ditt uttryck för potential skulle föreslå att varje skal börjar vid ursprunget och expanderar genom den befintliga massan ut till en radie $ r $, snarare än att koalescera runt en redan existerande kärna från utsidan. Så beräkna potentialen som
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Detta borde lösa faktorn två.
Terminologi åt sidan, jag tror att vi kan komma överens om konceptet med vilken storlek av energimedel, så positivt eller negativt har ingen stor inverkan. För att få en känsla för integralen ovan, låt oss föreställa oss en enda partikel som dras in av gravitationen av den stillbildande kulan (med radie $ r $), snarare än ett skal. När partikeln kommer in från oändligheten kommer den potential som den kommer att känna att vara den vanliga newtonska gravitationspotentialen hela vägen tills den träffar ytan på bollen. massa $ dm $ av ett skal som läggs till kommer också att känna samma potential; vi kan tänka på skalet som många små partiklar som kommer in från alla håll samtidigt. Varje gång vi lägger till ett skal på detta sätt, $ r \ rightarrow r + dr $, så $ M_ {enc} $ ökar i enlighet därmed, vilket vi redogör för i integralen över $ r $. Detta står i kontrast till integralen med gränserna $ [0, R] $ i frågan, eftersom en sådan integral är mer besläktad med den mängd energi som krävs för att ”blåsa upp” massaskal utåt från ursprunget. En sådan process skulle kräva att kulan var helt permeabel när skalen blåser upp till ytan, men om så vore fallet skulle hela kulan omedelbart kollapsa på sig själv igen på grund av sin brist på styvhet.
Kommentarer
- Ok. Först vet jag ' inte vilken gravitationell bindningsenergi. Jag vet bara vad egenpotentialenergi är. Självpotentialenergin för ett system med massa $ m_1, … m_N $ är summan av $ U_ {i, j} $ över alla par $ (i, j) $ med $ i < j $ där $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ är avståndet mellan massorna $ m_i $ och $ m_j $. Det här är vad jag försökte beräkna.
- För det andra är din integral inte ' t meningsfullt för mig. $ M_ {enc} (r) $ bör ersättas med $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh har rätt: du tog fel definition av bindningsenergin. Se den här Wikipedia-artikeln för fullständig beräkning: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: I själva verket, vad jag beräknade är den självgravitationspotentialenergi, som bara är negativet av bindande energi. Jag beskrev självpotentialenergi ovan, det vill säga helt enkelt massfördelningens energi på grund av dess eget gravitationsfält.
- Jag har lagt till förtydligande i svaret eftersom det inte skulle ' t passar här i kommentarerna. Den väsentliga skillnaden i våra två kvantiteter är mängden energi som är involverad i att ta bort alla massbitar oändligt långt ifrån varandra kontra den mängd energi som krävs för att hålla bollen från att kollapsa i sig själv. Den förstnämnda är den gravitationsbindande energin (på grund av självpotentialen), och den senare är mer ett mått på den minsta styvheten i den aktuella saken.
Svar
Det finns problem med hur du beräknar potential och med hur du beräknar gravitationell bindningsenergi.
Gravitationsfältet inuti sfären är radiellt inåt och av storlek $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Gravitationsfältet utanför sfären är radiellt inåt och av storleken $ GM / r ^ 2 $.
Gravitationspotentialen är det arbete som utförs per massenhet som för massan från oändligheten till $ r $.
Potentialen vid en radie $ r $ inuti sfären är $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r ”^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr ”} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Emellertid detta behövs inte för att beräkna en sfärs bindningsenergi, eftersom gravitationsbindningsenergin är summan av de energier som krävs för att ta bort massaskal från en sfärs yta till oändligheten ( föreställ dig att du tar bort lager från ytan tills du når mitten).
Potentialen vid ytan av en sfär med massa $ M ”$ är $ -GM” / R ”$, där den konstanta densiteten $ \ rho = 3M ”/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Således $$ V (R ”) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ och bindningsenergin är lika till $ V (R ”) $ multiplicerat med massan av ett skal, $ dM = 4 \ pi R ”^ 2 \ rho \ dR” $, integrerad över massaskal från noll till stjärns slutliga radie.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R ”^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR ”$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$