Vad är Fermi Surface ? Jag hoppas att den här frågan inte är så elementär för detta forum och ber om ursäkt i förväg om den är.

Låt mig förklara min förvirring. Med en solid, tror jag att jag har en känsla för Fermi-nivån. Jag kan till exempel förstå det som den karakteristiska parametern $ \ mu $ i Fermi-Dirac-fördelningen av energinivåer för elektronerna i systemet: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorerar för närvarande andra fysiska tolkningar. Således är det den unika energinivån som sannolikt är 1/2 att vara upptagen.

Definitionen av Fermi-ytan å andra sidan ges vanligtvis som ”iso-ytan för tillstånd med energi lika med Fermi-nivån ”i det tredimensionella utrymmet för vågvektorer $ k $ , till exempel i denna Wikipedia-artikel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Med andra ord definieras det att de är $ k $ så att $$ E (k) = \ mu. $$ Hittills så bra. Problemet är att jag inte förstår vad $ E (k) $ är.

En situation verkar vara enkel, nämligen en Fermi gas av identiska partiklar. Då $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ och Fermi-ytan är en sfär. Men om vi har en oändlig periodisk potential, den vanliga idealiserade modellen för Bloch-teorin, då kommer lösningarna på Schroedinger-ekvationen ut i formen $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ där $ u_ {kn} $ är en periodisk funktion och $ n $ är ett diskret index för energinivåer. Med andra ord, för varje vågvektor $ k $ ,

det finns många energinivåer $ E_n (k) $ .

Så ekvationen för Fermi-ytan skulle faktiskt se ut som $$ E_n (k) = \ mu. $$ Min fråga därför är vilken energinivå den $ E (k) $ som förekommer i definitionen av Fermi-ytan? Kanske finns det en Fermi-yta för varje nivå $ n $ ? (Förutsatt att nivåerna varierar kontinuerligt över momentumutrymmet, vilket gör att vi konsekvent kan indexera nivåerna för varierande $ k $ .)

Om jag kunde utarbeta min förvirring lite mer, jag förstår inte riktigt definitionen i detta svar på den här frågan:

Vad är Fermi-ytan och varför är detta koncept så användbart i metallforskning?

Det anges att

”Fermi-ytan är helt enkelt ytan i momentum, där, i gränsen för noll interaktioner, alla fermionstillstånd med (crystal) momentum $ | k | < | k_F | $ är ockuperade och alla högre momentum är tomma. ”

För en sak, som nämnts ovan, för alla momentum $ k $ , där är en oändlig sekvens av fermiontillstånd. Det andra problemet är att jag inte är säker på att uttalandet ovan definierar en unik yta, även om jag på något sätt kunde välja ett fermiontillstånd $ \ psi (k) $ för varje $ k $ som uttalandet hänvisar till. (Jag skulle behöva rita en bild för att förklara denna punkt, som jag inte har förmågan att göra.)

Kommentarer

  • Fermi ytan definieras vid en temperatur av absolut noll, så du tar marktillståndslösningarna $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Och i ett fast ämne tittar du på tillstånden inom en ( Wigner-Seitz) enhetscell.
  • Citron: Jag tycker det är också ganska förvirrande. Så ditt uttalande skulle vara ’ Fermi-ytan är en uppsättning av $ k $ så att $ E_0 (k) = \ mu $, ’ där $ E_0 (k) $ är den lägsta energin med momentum $ k $. Men då, i en solid där många av de lägre energibanden är fyllda, det skulle finnas många elektroner över Fermi-nivån. Detta verkar inte överensstämma med den vanliga bilden.
  • Jon Custer: Jag antar att du ’ hänvisar till det faktum att var och en av $ u_ {kn} $ bestäms av deras värden i en cell. Det ’ är sant. Men det finns inga tillstånd som är bara konc förtrollad i en cell. ($ U_ {kn} $ är periodiska.) I alla fall vet jag inte ’ hur detta svarar på frågan.Hur du fraserar det får du det att låta som ’ för varje $ k $, det finns en unik $ \ psi_ {kn} $ koncentrerad i en cell, och dess energi är vad vi använder för att definiera Fermi-ytan. ’ Detta låter inte ’ av olika anledningar.

Svar

Allt du säger är korrekt. Fermi-ytan definieras som en uppsättning poäng $ k $ så att $ E_n (k) = \ mu $ för något band $ n $. Emellertid är banden vanligtvis relativt långt från varandra och överlappar inte energi, så här:

ange bild beskrivning här

Som vi kan se ligger banden 1 och 3 helt över eller helt under den kemiska potentialen $ \ mu $ och är därför irrelevanta för bestämning av Fermi-ytan ( faktiskt, vid låga temperaturer är dessa band ganska irrelevanta för några fysiska fenomen – endast band nära den kemiska potentialen är fysiskt viktiga). Det är därför du i praktiken kan komma undan med att bara överväga ett eller två band och helt ignorerar alla andra – och när det finns en Fermi-yta (dvs. den kemiska potentialen korsar ett band) är ett band nästan alltid tillräckligt.

I mer komplicerat / ovanligt men du måste hålla reda på flera band. Till exempel kan band ibland röra eller korsa, och roliga saker kan hända om du ställer in den kemiska potentialen exakt efter cr ossing punkt. Ännu mer ovanligt kan två band dela ett helt begränsat utbud av energi – t.ex. två cosinuskurvor skiftade vertikalt med en liten mängd. Men dessa fall är mycket sällsynta – för de flesta vardagliga material sitter $ \ mu $ i högst ett band och du behöver inte oroa dig för detta. (Faktiskt tycker professionella fysiker att hitta / skapa ovanliga material där den kemiska potentialen är sitter precis vid en bandkorsning, just för att sådana system inte är teoretiskt välförståda, så det finns mer att lära sig.)

BTW, i 1-D, som diagrammet ovan, består Fermis ”yta” bara av isolerade värden på $ k $, men i 2-D är det vanligtvis en sluten kurva i $ k_x $ – $ k_y $ -planet , och i 3-D är det vanligtvis en sluten yta, som en sfär. Ibland kan Fermi-ytan faktiskt bestå av två (eller fler) sfärer, med en inuti den andra och de fyllda ” Fermi havet ”för det relavanta bandet ligger emellan dem. Detta fenomen kallas” Fermi ytan häckar. ”Men om du bara lär dig om Fermi ytor, så behöver du inte oroa dig för dessa komplicerade situationer under lång tid.

Kommentarer

  • Tack för det tydliga svaret. Förresten, jag ’ har samlat nu när ordet ’ band ’ används på två distinkta sätt i fast tillståndsfysik. Ordet du använder här hänvisar bara till en energinivå. Men det finns också uppfattningen om ett band som en väsentligen kontinuerlig fördelning av energinivåer, mellan vilka är ’ luckor. ’ Jag tror att detta var en stor del av min förvirring. Korrigera mig om jag ’ gör fel på detta.
  • @MinhyongKim A ” band ” definieras som en enda kurva $ E_n (k) $ för ett givet värde på $ n $. (Jag tycker att det ’ är något vilseledande att kalla det en ” energinivå ” eftersom funktionen är vanligtvis inte konstant, så det tar värden över ett helt begränsat energintervall.) Människor missbrukar ibland terminologi och använder också ordet ” band ” för att hänvisa till det energiintervall som funktionen sträcker sig över – dvs. kollapsa momentumberoendet. Du ’ har rätt i att det här är vad människor tänker på när de pratar om ” bandgap. ” Men de två sinnena i ” band ” är egentligen nästan identiska …
  • .. Den enda skillnaden är om du håller reda på beroendet av $ k $ eller bara överväger funktionen ’ s intervall.
  • Tack för den ytterligare förklaringen. Men det verkar för mig något viktigt att skilja mellan de två sinnena. Om ordet ’ band ’ används i betydelsen elektronisk bandstruktur, så är ekvationen $ E_n (k) = \ mu $ skulle ’ inte vara väldefinierade även för ett fast värde på $ n $. Detta var en av de mycket förvirrande sakerna för en nybörjare som jag. Hur som helst, tack igen!

Svar

Fermi-ytan är ytan i det ömsesidiga utrymmet ( dubbla av det verkliga utrymmet du bor i) avgränsar de fermioniska ockuperade staterna från de fermioniska obebodda vid noll temperatur.Så det är en momentumkonstruktion ($ k $) snarare än en energikonstruktion.

Logiken är följande: försök att sätta ihop ett givet antal fermioner. Eftersom de följer Pauli-uteslutningsprincipen kan du inte packa dessa fermioner som du vill. Varje gång det finns utrymme för ett tillstånd i momentumutrymmet kan bara en fermion ockupera detta tomma rum. Så du måste börja stapla upp fermionerna. Den har en fullständig analogi med att fylla i en bokhylla med böcker: du måste använda nästa rad när den föregående är full. Du kan använda mindre intervall mellan råvaror, förstora storleken på varje rå, …, om du har för många böcker, kan du använda nästa råa, vilket är ingenting annat än att använda nästa momentum i din dispersionsrelation (vad du kallar $ k_n (E) $). När du sätter den sista fermionen i din fermioniska bokhylla kallas motsvarande momentum tillståndet Fermi momentum, motsvarande energi kallas Fermi-energin, …, och ytan på iso- $ k $ vid Fermi kallas fartyget Fermi-ytan.

Få anmärkningar nu

  • Det kommer aldrig att finnas ett oändligt antal grenar som används för att fylla i en ändlig antal fermioner i dispersionsförhållandena (materialets bandstruktur om du föredrar det).

  • Det finns ingen motsättning i att Fermi-ytan har flera ark. Även på Wikipedia har du redan exempel på Fermi-yta med elektron- och hålfickor

  • Begreppet Fermi-yta kommer från begreppet (Fermi-Dirac) statistik, när du har ett begränsat antal partiklar att hantera (i en gammal terminologi är det ett andra kvantifierat problem), medan bandstrukturen är hela spektrumet av tillgängliga tillstånd för en partikel (i den forntida terminologin är det ett första kvantifierat problem) i en periodisk potential. Det enkla sättet att passera från det ena till det andra är användningen av den kemiska potentialen, som fixerar antalet partiklar per energitillstånd (närmare bestämt mängden energi som krävs för att lägga till en partikel i det termodynamiska systemet).

  • Fermi-ytan är ett särskilt användbart koncept för att förstå några transportegenskaper (elektriska, värme, … transporter) för material med enkla bandstrukturer, som rena metaller och dopade halvledare. När Fermi-ytan blir för komplicerad blir det svårt att få någon intuition från den. Jag tror att detta är kärnan i missförståndet i konceptet i din fråga.

Kommentarer

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *