Jag ser hela tiden termerna första ordningens villkor och andra ordningens villkor som används i min ekonomi-klass för produktionsfunktioner, monopol etc. men jag har ingen aning vad dessa termer betyder. Det verkar som en helt tvetydig term. Vilken typ av villkor?
Kan någon förklara vad dessa termer betyder? Om det är sammanhangsberoende, förutsatt att några av dem är de mest elementära betydelserna du associerar med termen.
Svar
Antag att du har en differentierbar funktion $ f (x) $, som du vill optimera genom att välja $ x $. Om $ f (x) $ är nytta eller vinst, vill du välja $ x $ (dvs. konsumtionsbunt eller producerad kvantitet) för att göra värdet på $ f $ så stort som möjligt. Om $ f (x) $ är en kostnadsfunktion, vill du välja $ x $ för att göra $ f $ så liten som möjligt. FOC och SOC är förhållanden som avgör om en lösning maximerar eller minimerar en viss funktion.
På grundnivå är det vanligtvis fallet att du måste välja $ x ^ * $ så att derivatet av $ f $ är lika med noll: $$ f ”(x ^ *) = 0. $$ Detta är FOC. Intuitionen för detta villkor är att en funktion uppnår sin extremum (antingen max eller minimum) när dess derivat är lika med noll (se bilden nedan). [Du bör vara medveten om att det finns fler inblandade subtiliteter: leta upp termer som ”interiör mot hörnlösningar”, ”globalt mot lokalt maximum / minimum” och ”sadelpunkt” för att lära dig mer].
Men som bilden illustrerar är det helt enkelt att hitta $ x ^ * $ där $ f ”(x ^ *) = 0 $ inte räcker för att avsluta att $ x ^ * $ är lösningen som maximerar eller minimerar objektivfunktionen. I båda graferna uppnår funktionen en nolllutning vid $ x ^ * $, men $ x ^ * $ är en maximizer i det vänstra diagrammet, men en minimizer i det högra diagrammet.
För att kontrollera om $ x ^ * $ är en maximizer eller en minimizer, behöver du SOC. SOC för maximizer är $$ f ”” (x ^ *) < 0 $$ och SOC för minimizer är $$ f ”” (x ^ *) > 0. $$ Om $ x ^ * $ maximerar $ f $ intuitivt minskar lutningen på $ f $ runt $ x ^ * $. Ta det vänstra diagrammet, där $ x ^ * $ är en maximizer. Vi ser att lutningen på $ f $ är positiv till vänster om $ x ^ * $ och negativ till höger. Runt omkring $ x ^ * $ när $ x $ ökar minskar $ f ”(x) $. Intuitionen för fallet med minimizer är likartad.
Kommentarer
- Men varför det ' kallas inte " Första derivattestet " är fortfarande ett mysterium för mig.
Svar
Till exempel när du pratar om vinstmaximering från en vinstfunktion $ \ pi (q) $, huvudvillkoret för ett maximalt är att: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Detta är FOC (första order
Men för att vara säker på att det du har hittat ovan är ett sant maximum bör du också kontrollera ett ”sekundärt” tillstånd som är: $$ \ frac {\ partiell ^ 2 \ pi} {\ partial q ^ 2} < 0 $$ Detta kallas SOC (andra ordningens villkor).
Svar
Målet är att hitta ett lokalt maximum (eller minimum) för en funktion.
Om f unction kan differentieras två gånger:
- första derivattestet berättar om det är en lokal extremum.
- andra derivattestet berättar om det är ett lokalt maximum eller ett minimum.
Om du funktionen kan inte differentieras, du kan göra ett mer allmänt extremum test .
Obs! Det är omöjligt att konstruera en algoritm för att hitta en globalt maximum för en godtycklig funktion .
Neoklassiska ekonomer byter verkligen namn på de två matematiska metoderna till första ordningens villkor och andra ordningens villkor för att se cool ut eller av andra historiska skäl. Varför använda ett namn som ofta används när du bara kan skapa ett?
Termen används också på begränsad maximering när de använder Lagrange multiplikator metod och Karush – Kuhn – Tucker villkor . Återigen tror jag inte att termen används av icke-ekonom.