Enhetsstegssignalen definierad som
$$ u [n] = \ lspärr 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
har tre möjliga lösningar för sin Fourier-domänrepresentation beroende på typ av tillvägagångssätt. Dessa är som följer –
- Den allmänt följda metoden (Oppenheim Textbook) – beräkning av Fourier-transformationen av enhetsstegsfunktionen från Fourier-transformation av signum-funktionen.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Fourier Transform beräknad från Z-transformationen för enhetsstegfunktionen (se Proakis-lärobok, Digital signalbehandlingsalgoritmer och applikationer , sidorna 267,268 avsnitt 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Fouriertransform beräknad genom att dela upp i jämna och udda funktioner – följt i Proakis Textbook (Refer Proakis Textbook, Digital signalbehandling Algoritmer och applikationer , sidan 618 avsnitt 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
Den andra representationen kan ignoreras eftersom den inte är en väluppfostrad -funktion. Men tillvägagångssätten som följs av Proakis och Oppenheim är lika giltiga (de utökar Fourier-transformen till att inkludera impulser i frekvensdomänen). Men förvirringen är att de ger olika lösningar. eller saknar jag någon viktig punkt ?? Hjälp mig att förstå detta och rätt formulär som kan användas i alla applikationer. (Jag fann att Oppenheim-metoden används för att härleda Kramers-Kronig-relationerna och Proakis-metoden som används vid härledningen av Hilbert-transformen)
Svar
Observera att det första uttrycket är Fourier-transform av kontinuerlig enhetssteg $ u (t) $, så det är inte tillämpligt på den stegvisa sekvensen $ u [ Dessutom är det andra och det tredje uttrycket båda korrekta och de är identiska om man tar hänsyn till att det andra uttrycket inte gör anspråk på giltighet vid heltalsmultiplar av $ 2 \ pi $.
Om vi utelämnar vinkelfrekvenser vid multiplar av $ 2 \ pi $, det tredje uttrycket blir
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
vilket är identiskt med det andra uttrycket.
Kommentarer
- Tack så mycket! Ja, det andra och tredje är likvärdiga men i det tredje har de komposition genom att inkludera impulsen vid polerna. Tack för förtydligandet
Svar
Som Matt sa är den andra och tredje definitionen desamma förutom delen med impuls. Impulsen ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) står för DC-värdet för $ u [n] $ . Utan den termen (dvs. den andra definitionen) är det faktiskt FT för $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Vi har $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Och därför har FT för $ u [n] $ den extra termen för att ta hänsyn till tillägget av $ \ frac {1 } {2} $ . Den diskreta tiden FT (eller DTFT) för $ u [n] $ är korrekt skriven som $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
Den första definitionen, $ U (j \ omega) $ är ”kontinuerlig tid ”FT (eller CTFT) för $ u (t) $ (inte $ u [n] $ ) och därmed skiljer sig från de andra två definitionerna.