Vad är skillnaden mellan fasfördröjning och gruppfördröjning?

Först och främst är definitionerna olika:

• Fasfördröjning: (negativa av) Fas dividerat med frekvens
• Gruppfördröjning: (negativa av) Första derivatet av fas vs frekvens

Med ord som betyder:

• Fasfördröjning: Fasvinkel vid denna punkt i frekvens
• Gruppfördröjning: Fasändringshastighet runt denna punkt i frekvens.

När man ska använda det ena eller det andra beror verkligen på din applikation. Den klassiska applikationen för gruppfördröjning är modulerade sinusvågor, till exempel AM-radio. Tiden det tar för moduleringssignalen att komma igenom systemet ges av gruppfördröjningen inte av fasfördröjningen. Ett annat ljudexempel kan vara en kicktrumma: Detta är mestadels en modulerad sinusvåg, så om du vill bestämma hur mycket sparktrumman kommer att fördröjas (och eventuellt smetas ut i tid) är gruppfördröjningen sättet att titta på den.

Kommentarer

• ” Absolut fas vid denna punkt i frekvens ” Skulle ’ inte bara kallas ” fas ”?
• Jag menade ” absolut ” jämfört med ” relativ ”, men jag ser att detta kan förväxlas med ” absolut värde ”. Jag ’ Redigerar det
• en sista viktig skillnad: fasfördröjningen vid någon frekvens $ f $ är tidsfördröjningen för fas av den kvasi-sinusformade signalen med frekvensen $ f $ passerade genom filtret. gruppfördröjning är tidsfördröjningen för kuvertet eller ” grupp ” av kvasi-sinusformet.

De mäter inte båda hur mycket en sinusfördröjning är försenad. Fasfördröjning mäter exakt det. Gruppfördröjning är lite mer komplicerad. Föreställ dig en kort sinusvåg med ett amplitudhölje applicerat på den så att den bleknar in och bleknar ut, säg en gaussian multiplicerad med en sinus Detta kuvert har en form på det, och i synnerhet har det en topp som representerar mitten av det ”paketet.” Gruppfördröjning berättar hur mycket det amplitudhöljet kommer att försenas, i synnerhet hur mycket toppen av det paketet kommer att flytta förbi.

Jag tycker om att tänka på detta genom att gå tillbaka till definitionen av gruppfördröjning: det är härledningen av fas. Derivatet ger dig en linearisering av fasresponsen vid den punkten. Med andra ord, vid någon frekvens berättar gruppfördröjningen dig ungefär hur fasresponsen för de angränsande frekvenserna relaterar till fasresponsen vid den punkten. Kom ihåg hur vi använder en amplitudmodulerad sinusform. Amplitudmoduleringen tar sinusens topp och introducerar sidoband vid angränsande frekvenser. På ett sätt ger gruppfördröjningen dig information om hur sidobanden kommer att fördröjas i förhållande till den bärvågsfrekvensen, och genom att använda den förseningen kommer formen på amplitudhöljet att ändras på något sätt.

galen sak? Kausalfilter kan ha negativ gruppfördröjning!Ta din gaussiska multiplicerad med en sinusform: du kan bygga en analog krets så att när du skickar signalen igenom kommer kuvertets topp att visas i utgången före ingången. Det verkar som en paradox, eftersom det verkar som att filtret måste ”se” in i framtiden. Det är definitivt konstigt, men ett sätt att tänka på är att eftersom kuvertet har en mycket förutsägbar form, har filtret redan tillräckligt med information för att förutse vad som kommer att hända. Om en spets sades in i mitten av signalen skulle filteret inte förutse det. Här är en riktigt intressant artikel om detta: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Kommentarer

• När du säger ” bild a … ”, skulle en verklig bild vara till stor hjälp här.

För de som fortfarande inte kan krita är skillnaden här ett enkelt exempel

Ta lång överföringsledning med enkel kvasi-sinusformad signal med ett amplitudhölje, $ a (t) $ , vid dess ingång

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Om du mäter denna signal vid överföringen rad, $ y (t) $ , det kan komma någonstans så här:

$$ \ börja {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

där $ \ phi $ är fasskillnad från input till output.

Om du vill ha hur mycket tid det tar tar fas av sinusformen, $ \ sin (\ omega t) $ överföring från ingång till utdata sedan $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ är ditt svar på några sekunder.

Om du vill ha hur mycket tid det tar tar kuvertet , $ a (t) $ , av sinusöverföringen från ingång till utgång sedan $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ är ditt svar på några sekunder.

Fasfördröjning är bara restid för en enda frekvens medan gruppfördröjning är mått på amplitudförvrängning om array med flera frekvenser tillämpas.

Jag vet att det här är en vacker gammal fråga, men jag har letat efter en härledning av uttrycken för gruppfördröjning och fasfördröjning på internet. Det finns inte många sådana härledningar på nätet så jag trodde att jag skulle dela det jag hittade. Observera också att det här svaret mer är en matematisk beskrivning än en intuitiv. För intuitiva beskrivningar hänvisas till ovanstående svar. Så här går:

Låt oss betrakta en signal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

och skicka detta genom ett LTI system med frekvenssvar

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Vi har betraktat systemets förstärkning som enighet eftersom vi är intresserade av att analysera hur systemet förändrar insignalens fas snarare än förstärkningen. Nu, med tanke på att multiplikation i tidsdomän motsvarar faltning i frekvensdomän, ges Fourier-transformen av insignalen av

$$ X (j \ omega) = {1 \ över 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

vilket uppgår till

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ över 2} $$

Därför har systemets utgång ett frekvensspektrum som ges av

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ över 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Nu, för att hitta den inversa Fourier-transformen av ovanstående uttryck, behöver vi veta den exakta analytiska formen för $ \ phi (\ omega) $ . Så för att förenkla saker och ting antar vi att frekvensinnehållet i $ a (t) $ endast innehåller de frekvenser som är betydligt lägre än bärfrekvensen $ \ omega_0 $ . I detta scenario kan signalen $ x (t) $ ses som en amplitudmodulerad signal, där $ a (t ) $ representerar kuvertet för den högfrekventa kosinussignalen. I frekvensdomänen innehåller $ B (j \ omega) $ nu två smala frekvensband centrerade vid $ \ omega_0 $ och $ – \ omega_0 $ (se ovanstående ekvation).Detta innebär att vi kan använda en första ordning i Taylor-seriens expansion för $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

där $$ \ börjar {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Om vi kopplar in det här kan vi beräkna den inversa Fourier-transformationen av den första halvan av $ B (j \ omega) $ som

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Ersätter $ \ omega – \ omega_0 $ för $ \ omega ”$ , detta blir

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega ”)) e ^ {j ((\ omega” + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega ”$$

vilket förenklar till

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Ansluta uttrycken för $ \ alpha $ och $ \ beta $ , detta blir

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

På samma sätt den andra hälften av den inversa Fourier-transformen av $ B (j \ omega) $ kan erhållas genom att ersätta $ \ omega_0 $ av $ – \ omega_0 $ . Att notera att för riktiga signaler är $ \ phi (\ omega) $ en udda funktion, detta blir

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Således när vi lägger till de två får vi $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Lägg märke till förseningarna i kuvertet $ a (t) $ och bärarens kosinussignal. Gruppfördröjning $ (\ tau_g) $ motsvarar fördröjningen i kuvertet medan fasfördröjning $ (\ tau_p) $ motsvarar förseningen i bäraren. Således

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Fasfördröjningen för vilket filter som helst är den tidsfördröjning som varje frekvenskomponent lider genom att gå igenom filtren (Om en signal består av flera frekvenser.)

Gruppen fördröjning är den genomsnittliga tidsfördröjningen för den sammansatta signalen som lider vid varje komponent av frekvensen.