Vad betyder den exponentiella termen i Fourier-transformen?

Det är en komplex exponential som roterar för evigt på den komplexa planenhetens cirkel:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Du kan tänka på Fourier-transform som beräkning korrelation mellan $ f (t) $ och en komplex exponential för varje frekvens som jämför hur lika de är. Komplexa exponentials som det har den fina kvaliteten att de kan vara tids- förskjutas genom att multiplicera dem med ett komplext antal enhets magni tude (en konstant komplex exponentiell). Om Fourier-transformresultatet vid en viss frekvens är ett icke-verkligt komplext tal, kan den komplexa exponentialen för den frekvensen multipliceras med det komplexa talet för att få det att flyttas i tid så att korrelationen till $ f (t) $ maximeras.

Om du inte gillar att tänka på imaginära tal, komplexa tal och funktioner, kan du alternativt tänka på det komplexa exponentiella i FT som bara stenografi för att mosa ihop både en sinus och en cosinusvåg (av samma frekvens) till en enda funktion som kräver mindre krita på svarta tavlan för att skriv.

Oavsett om det är Fourier-transform eller Laplace-transform eller Z-transform etc. är den exponentiella egenfunktion för Linjära och tidsinvarianta (LTI) operatörer . om en exponentiell funktion av ”tid” går in i en LTI, kommer en exponential precis som den (men skalad av egenvärdet) ut. vad F.T. gör är att bryta ner en allmän funktion till en summa av dessa exponentialer. som kan ses genom att titta på invers Fourier Transform.

The Fourier Transform:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

konverterar en funktion till en integral av harmoniska funktioner. Du kan tänka på dessa som synder och cosinus eftersom $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Fouriertransformen som en kontinuerlig form av Fourier-serien som omvandlar vilken periodisk signal som helst till en summa av andra verkliga periodiska (harmoniska) signaler:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

I Fourier Transform kan du tänka på koefficienterna $ a_n $ och $ b_n $ går över värdena för en kontinuerlig funktion. För att ta jämförelsen vidare finns det en komplex version av serien:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Kommentarer

• Försök att hålla dig till en oberoende variabel, antingen $ t $ eller $ x $, men inte båda. Försök också hitta ett bättre ord än ’ lyssna ’, vilket inte ’ Det är inte meningsfullt här.
• Du saknar också $ \ omega $ i sinusoidernas argument och den exponentiella funktionen: $ \ cos (n \ omega t) $, etc.
• @MattL. Behöver jag $ \ omega $? Fourier Transform har $ e ^ {i \ omega t} $, men i serien tar ” $ n $ ” platsen av $ \ omega $. Är inte ’ t rätt?
• Nej, $ \ omega = 2 \ pi / T $, där $ T $ är perioden $ f (t) $, dvs såvida inte $ T = 2 \ pi $ du behöver $ \ omega $.
• Ok. Jag förstår vad du menar.

Tänk på fallet $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Sedan

$$ F (\ omega) = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

När $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , båda integranderna svänger runt noll och integralerna är faktiskt noll.De enda resultat som inte är noll är

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ gränser _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ begränsar _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

som ofta uttrycks som $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ stor (\ omega – (- \ omega_0) \ stor) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Med ord, för valfritt värde av argumentet $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ faktor översätter komponenten av $ f (t) $ vid den frekvensen till $ 0 $ och alla andra komponenter bort från noll. Sedan producerar den oändliga integralen ett mått på komponentens styrka vid $ 0 $ .

Observera att om $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , sedan $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Vad detta faktiskt betyder är att tecknet på $ \ omega_0 $ kan entydigt härledas från funktionen $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Det kan inte härledas från $ \ cos (\ omega_0 t) $ , eftersom det är trigonometriskt identiskt med $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Fourier-transformen hanterar denna tvetydighet genom att ge svar som inte är noll på både $ \ omega = \ omega_0 $ och $ \ omega = – \ omega_0 $ . Det betyder inte att $ \ cos (\ omega_0 t) $ innehåller båda frekvenserna, eftersom $ \ omega_0 $ kan bara ha ett värde. Den korrekta tolkningen är att $ e ^ {i \ omega_0 t} $ innehåller mer information, inte mindre än $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Formeln $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ ser ut som mer information, men det är faktiskt en avbokning av information.

Kommentarer

• ” Det betyder inte $ cos (\ omega_0 t) $ innehåller båda frekvenserna, eftersom $ \ omega_0 $ bara kan ha ett värde. ” Nej. cosinus är summan av två komplexa rena toner med motsatta frekvenser (två distinkta värden). Vad du ’ inte kan säga är tecknet på $ \ omega_0 $. Endera är en giltig tolkning, liknar att välja en kvadratrot. Så enligt konvention anses frekvenser för verkligt värderade rena toner vara positiva.
• @Cedron – Tänk på en funktion $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Och $ \ \ därför \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Bör vi drar slutsatsen att $ x ^ 2 $ är något mer än bara en funktion på den verkliga talraden? Den består i hemlighet av två komplexa funktioner? Om så, vilka två? … eftersom jag lika gärna kunde ha definierat $ f (x) $ som $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Detta är inte ’ t om funktionsnedbrytning. Du kunde lika gärna ha sagt $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ för lika spion av ett argument. Frasen ” innehåller båda frekvenserna ” är i sammanhanget med FT (kontinuerlig i detta fall). Om $ cos $ bara hade en frekvens skulle det bara finnas ett värde som inte är noll i spektrumet.
• Jag tycker inte ’ det är vettigt att argumentera för hur många frekvenser innehåller en allmän signal utan att komma överens om vad ” rimlig ” sönderdelning till periodiska funktioner menas. En frekvens är då bara ett förkortningsuttryck för en periodisk komponent av en frekvens . En rimlig sönderdelning kommer till exempel inte att innehålla komponenter som helt avbryter varandra eller komponenter som är identiska.
• @Olli – Tack för den redaktionella hjälpen med mina delta. Jag trodde att det inte såg ’, men jag insåg inte ’ varför.