Vad händer om ett flygplan försöker ta fart medan det är på ett löpband?

Idealiserande planets hjul är friktionsfria, kraften från propellern accelererar planet genom luften oavsett löpbandet. Drivkraften kommer från propellern, och hjulen är friktionsfria och håller inte planet tillbaka på något sätt.

Om löpbandet är för kort, körs planet bara från änden av det och fortsätter sedan att rulla mot start.

Om löpbandet är tillräckligt långt för en normal startrulle, planet accelererar genom luften och roterar från löpbandet.

UPPDATERING: Ta inte Alfreds ord för det. Mythbusters har faktiskt gjort experimentet.

UPPDATERING 2: Jag har funderat på hur problemet ställs (för tillfället när jag skriver det här) och det tänkte mig att begränsningen ”kör med samma hastighet som oavsett vilket plan som tröttar på rotationshastighet” faktiskt betyder kör så att planet inte rör sig i förhållande till marken .

Tänk på ett radiehjul $ R $ på ett löpband. Löpbandets yta har en linjär hastighet $ v_T $ till höger. Hjulets mitt har en linjär hastighet $ v_P $ till vänster. Hjulets vinkelhastighet på CCW är:

$ \ omega = \ dfrac {v_T + v_P} {R} $

Om ” kör med samma hastighet som oavsett vilket plan som tröttar rotationshastighet ” betyder :

$ \ omega = \ dfrac {v_T} {R} $

begränsningen kräver $ v_P = 0 $. Det vill säga frågan, som poserad , är:

Om löpbandet körs så att planet inte rör sig, kommer planet att ta av?

Självklart är svaret nej . Planet måste röra sig för att starta. När vi tittar på mwenglers långa svar ser vi vad som är happening. Däckens och löpbandets rotationshastighet är inte nyckeln, det är löpbandets acceleration som ger en kraft på hjulaxlarna (ignorerar friktion för enkelhet här).

Så det är faktiskt så att det är möjligt i princip , (tror inte att det är möjligt i praktiken dock) att kontrollera löpbandet på ett sådant sätt att det ger en hållkraft på planet, vilket hindrar det från att röra sig. Men återigen är denna kraft inte proportionell mot hjulen roterande hastighet utan till hjulets vinkel acceleration (notera att i det idealiserade fallet med masslösa hjul är det inte ens möjligt i princip ju ju lägre tröghetsmoment det är, desto större krävs vinkelacceleration).

Kommentarer

• Du gör den viktigaste punkten, det vill säga att planet skjuts genom luften.
• @JamieHutber, planet rör sig. Drivkraften från propellern är betydligt viktigare än alla nom inal friktionskraft från hjulen. Planet rör sig framåt. Ett plan är inte ’ en bil, motorn ’ t driver hjulen.
• @Jamie: Jag tror tanken är att du inte ’ kan matcha propellern, friktionen på hjulen blir aldrig så hög. Planet behöver bara lite tryck för att hålla sig stilla: Löpbandet kommer att röra sig och hjulen kommer att rotera, men själva planet kommer att förbli på plats. Något mer dragkraft och det kommer att gå framåt.
• Ett annat sätt att tänka på det är ett plan som lyfter på is – om planhjulens hastighet spelade roll hur skulle flyg med skidor klara sig?
• Alfred Centauri är 100% korrekt. Om du fortfarande är förvirrad bör du läsa igenom hans svar, läsa det igen och om det behövs få ett pilotlicens för att förstå att planhastigheten inte alls påverkas av hjulhastigheten.

Förenkla. Antag att luften är still – ingen vind. Antag att hjulen är riktigt friktionsfria – som smorda slirar. (När allt kommer omkring är det därför de har kullager.)

Flygplanet startar från stående läge och det accelererar till rotationshastighet, cirka 100 km / h. Det gör det genom att trycka mot luften , inte mot ytan den står på.

När den accelererar drar pickupen tyget under planet (simulerar ett löpband) i motsatt riktning, upp till 100 km / h.

Så, med avseende på den fasta rörliga luften, rör sig flygplanet en väg vid 100, och ytan under hjulen rör sig motsatt väg vid 100.

Planet lyfter , på grund av dess flyghastighet.

Hjulen svänger i 200 km / h, eftersom någon drar banan bakåt. De bryr sig inte – de är friktionsfria.

Allt ”löpbandet” har gjort är att göra hjulen snabbare.

Kommentarer

• Detta är rätt svar. Om planet är stillastående kommer planet självklart att uppleva ingen aerodynamisk lyftning.

REDIGERA LÄGGT 18/7/12

Tyvärr var det ursprungliga uttalandet av den ursprungliga frågan helt annorlunda än den FAKTISKA frågan som originalaffischen tänkte svara på. Den ursprungliga frågan är helt enkelt ställd och besvarad av Mythbusters . Om originalaffischen bara hade hänvisat till källan till hans fråga, skulle det ha varit mycket tydligare innan jag gjorde mitt långa svar nedan.

Den faktiska frågan som affischen ville ställa, och den som ställdes och besvarades av Mythbusters är detta: ett flygplan är på en transportbana som kan springa bakåt. Flygplanets framåthastighet övervakas och transportbandet körs bakåt i den hastigheten framåt när flygplanet försöker ta fart. Hjulen på flygplanet rullar fritt (inga bromsar, inga motorer). Kan flygplanet starta?

Det här är en LÄTT enklare fråga än den som affischen ursprungligen ställde i vilken den ursprungliga frågan angav att transportbandet skulle gå med HJULS hastighet. Så i den ursprungliga frågan skulle transportbandet springa tillräckligt snabbt så att antingen hjulen gled på det (om planet rörde sig framåt) eller att planet tvingades stå still (om hjulen inte gled på det. Det vill säga frågan jag svarade nedan.

Mythbusters-frågan är mycket enklare. Först vet vi att ett plan inte ens behöver hjul att ta av, vattenplan och plan som landar på snö eller is på skidor gör det Hjulen är bara ett bekvämt sätt att få en anslutning till marken som har låg friktion framåt och bakåt. Allt transportbandet orsakar är att de fritt roterande hjulen svänger dubbelt så snabbt som de normalt skulle start. Får detta motorn att lägga lite mer (OK, 4X så mycket) rotationsenergi i hjulens rotation? Ja det gör det. Det är till och med vagt ifrågasatt att ett plan med en felmarginal extra kraft nog att ta av genom att dra sig själv genom luften kan snurra dess (ganska liten, relativt th e flygmassa) hjul dubbelt så fort? Nej, hjulmassan är alldeles för liten för att vara en stor del av rörelsekvationen för ett flygplan som dras genom luften av en propeller. Titta på youtube-videon och se hur planet lyfter från transportbandet inga problem.

Nedan visas mitt svar på den ursprungliga frågan, som var mycket mer obskur, mycket mer utmanande att reda ut ur ett fysikperspektiv.

Vilken vild fråga!

Det som bestämmer att lyfta är tillräckligt lyft från vingarna. Hissen beror på flyghastigheten som flyter över vingarna. Du kanske tror på en vindlös dag att flyghastigheten över vingarna är noll om flygplanet inte rör sig framåt, men tänk om flygplanet har en stor propeller framför sina vingar? Sedan blåser propellern luft över vingarna. Jag vet inte säkert, men kanske kan ett mycket kraftfullt akrobatiskt flygplan blåsa vinden över sina vingar med sin propeller tillräckligt snabbt för att skapa tillräckligt med vinglyft för att ta av, även när flygplanet inte rör sig genom luften själv. Men verkligen de flesta främre propellerplan kan inte göra detta, de behöver framåtrörelse genom luften för att få tillräckligt med lufthastighet över vingarna, och alla jetstrålar och bakre propellerplan kräver framåtrörelse för att få luftflöde över vingarna.

Så nästa fråga är: utvecklar flygplanet någon rörelse framåt när du definierar problemet? Anta att det är en jetstråle. Jetmotorn skickar mycket luftmassa mycket snabbt bakom planet. För att bevara fart måste det omvända momentet gå någonstans. På en vanlig landningsbana (eller ett löpband som inte kan hålla jämna steg med däcken) skulle mycket av det momentet gå in i flygplanets framåtrörelse.

Nu måste vi ta reda på något om vilken typ kraft kan löpbandet sätta på flygplanet genom att springa bakåt. Anta att vi hade ett däck (eller en cylinder) på löpbandet och löpbandet började springa i en sådan riktning att vi började däcket snurra men inte översätta däcket åt vänster eller rätt. Skulle däcket röra sig längs löpbandet, eller skulle däcket förbli på plats och helt enkelt vända så fort som löpbandet rörde sig? Jag känner att jag borde stanna här och låta eleverna ta reda på deras svar på den här frågan. Istället ”Fortsätt bara.

Låt oss faktiskt titta på en Lätt enklare fråga först. Vi har en stolpe som håller däcket nere mot löpbandet. Om löpbandet står stilla och däcket står stilla, vet vi att det inte finns någon kraft på stolpen som håller däcket. Däcken sitter stilla, stolpen dras inte framåt eller åt sidan.

Tänk nu om löpbandet körs med jämn hastighet och därefter körs däcket i stadig rotationshastighet = till löpbandets hastighet för att hålla sig på plats eftersom den hålls på plats av posten. Men finns det en framåt eller bakåtkraft på posten? Om lagret som håller hjulet mot axeln är friktionsfritt är jag ganska säker på att det inte finns någon kraft. Däcket roterar med en konstant hastighet, eftersom axeln är friktionsfri, behöver den inte någon kraft för att hålla den roterande med konstant hastighet. Så i stadigt tillstånd roterar däcket med konstant 100 km / h på ett löpband konstant 100 km / h sätter ingen kraft på ett eller annat sätt på stolpen som håller den.

Hur är det så att vi kan koppla löpbandets översättningsrörelse till någon translationskraft på flygplanet? Antar vi friktionsfria axlar på hjulen ? I steady state kan vi inte. Men hur är det när vi accelererar?

Så vi tittar på problemet där hjulet står på löpbandet stillastående och vi snabbar löpbandet upp till 100 km / h. Vad händer

1. Hjulet snurrar upp långsamt men rör sig inte framåt eller bakåt.
2. Hjulet snurrar inte alls men rör sig i löpbandets riktning
3. Hjulet delar upp skillnaden, snurrar upp lite när löpbandet accelererar och tar upp lite framåtrörelse när löpbandet accelererar.

Nu de av oss som har varit runt blocket några gånger VET att svaret måste vara nummer 3, det vill säga om det inte är det. Men hur visar vi det?

Tänk på ett hjul i tomt utrymme, med sin axel i linje med x-axeln, så att den kan snurra fritt genom y-z-planet. Vid den lägsta punkten (den mest negativa z-punkten) tillämpar vi en kraft $ + F \ hat {y} $ under en tid $ t $ och gå sedan tillbaka till att använda noll kraft. $ \ hat {y} $ är en enhetsvektor i $ y $ riktning, det är kraften vi applicerar är bara längs hjulets yta. Vad gör hjulet?

Nåväl ger vi linjär ” impuls ” i $ Ft $ så vi ändrar dess linjära momentum med $ Ft $ så vi ändrar dess linjära hastighet med $ v = Ft / m $ där $ m $ är hjulets massa.

Men vi lägger också vridmoment runt storleksaxeln $ Fr $ i hjulet där $ r $ är hjulets radie. Således ökar vi hjulets vinkelmoment med $ Frt $ . Vilket innebär att vi ställer in hjulet på att snurra med vinkelhastighet $ \ omega = Frt / I $ där $ I $ är tröghetsmoment för hjulet runt dess axel.

Ser det linjära beroendet av $ v $ och $ omega $ på $ Ft $ kan vi se att oavsett vilken kraft vid vilken tid vi sätter in, förhållandet är fast: $$ v / \ omega = I / mr $$

Poängen är , en kraft som appliceras längs hjulets yta ger lite linjär momentum i hjulet (och vad det än är fäst vid) och lite vinkelmoment i hjulet (som snurrar hjulet).

Så tillbaka till flygplan.Vi har detta flygplan med en kraftfull jetmotor som ger en mycket stor $ – F \ hat {y} $ för att flytta flygplanet framåt. Om löpbandet ska förhindra att jetstrålen accelererar framåt måste den tillhandahålla en lika stor men motsatt $ F \ hat {y} $ till flygplanet. Men som vi såg ovan, oavsett vilken linjär kraft gängfabriken tillämpar på däcket, applicerar den ett proportionellt stort vridmoment på hjulet.

Vi noterar flygplanets massa $ M $ är mycket mer än däcket, $ m $ , så $ I / r = m \ ll M $ . Så för att motverka kraften från jetmotorn måste löpbandet accelerera mycket. Det vill säga $ \ omega = Ct $ för att motverka den linjära kraften hos jetmotorn på flygplanet. Så hjulet måste snurra riktigt riktigt riktigt snabbt och fortsätta snurra snabbare och snabbare så länge vi har jetmotorn igång. Min intuition föreslår att långt innan hjulet når relativistiska hastigheter kommer det att kastas isär av centrifugalkrafter som övervinner de molekylära krafterna som vanligtvis håller fast material fast.

Men tills hjulet exploderar (eller trådgänget exploderar), strålen hindras från att ha någon linjär acceleration och tar inte fart.

Kommentarer

• Detta specifika problem är något dåligt definierat men, som vanligtvis poseras, är tanken att löpbandets hastighet matchar hastigheten på planet som om det accelererar på en landningsbana. Så till exempel, låt det finnas två identiska plan, ett på en landningsbana och ett på ett löpband längs banans längd. Båda planen använder samma kraft och låt löpbandets hastighet matcha hastigheten på planet på landningsbanan. Jag tror det här är vad de flesta tänker på när de utgör detta problem.
• Jag ’ jag är ledsen om jag ’ jag förstår inte något (helt möjligt), men tänk på detta: Hjulet har två krafter i horisontell riktning som verkar på det: friktionen med löpbandet och dragkraften från planet. Hela systemet kommer att gå framåt om dragkraften är högre än friktionen. Men friktionen har ett maximum: en viss koefficient gånger planetens vikt. Därför är allt planet behöver göra för att ta av sig att skapa en dragkraft som är större än detta maximum. Stämmer det?
• @JavierBadia Inte helt. Det kan röra sig, men sakta ner tillräckligt av friktionen för att inte kunna uppnå starthastighet. Så även om det kan komma till 200 km / h som trycks av strålen när det rullar, kan det bara nå 50 km / h om det var någon överflödig friktion. FAKTA är att hjulen kan hålla en kommersiell stråle mot sina jetmotorer vid maximal dragkraft. En kommersiell stråle producerar inte tillräckligt med kraft för att övervinna däcksfriktion, bromsarna måste släppas för att strålen ska kunna röra sig.
• @AlfredCentauri din kommentar här är helt annorlunda än den fråga du ställer i ditt ursprungliga inlägg, som svarar jag i mitt svar. Din kommentar innebär att strålen på löpbandet måste snurra sina däck dubbelt så snabbt som strålen på den vanliga banan för att uppnå starthastigheten. Det verkar troligt för mig att däcken kan spricka eller misslyckas på något annat sätt eftersom de inte är konstruerade för 2x hastigheten och centrifugalkraften är 2x högre i det här fallet.
• Det ’ behöver inte, såvida inte frågan förutsätter att flygbromsarna är inkopplade, i vilket fall detta är ett dumt problem. Även utan löpband och ett plan kan ’ inte ta av sig så.

Scenariot för löpbandet som matchar flygplanets hastighet kan aldrig existera av följande anledning.

Först och främst att här finns 3 olika hastigheter. Normalt har vi ”markhastighet – d.v.s.flygplanets hastighet uppmätt mot jorden (låt oss anta noll jordrotation) och ”lufthastighet – planets hastighet uppmätt mot den omgivande luften. Till exempel om planet flyger med 500 mph i förhållande till jorden men mot säg en vind på 100 mph kommer den att ha en hastighet på 500 mph men en lufthastighet på 600 mph. När det gäller löpbandet har vi också en (låt oss kalla det) ”löpbandets markhastighet”, vilket är planetens hastighet i förhållande till Löpbandets hastighet. Om löpbandet körs med säga 100 mph men planet är stilla har planet en ”jord” -hastighet på 0 mph, en ”löpbandshastighet på 100 mph och en lufthastighet på 0 mph.

Låt oss anta att planhjulen är 100% friktionsfria. När löpbandet går med vilken hastighet som helst kommer planet att vara stillastående. Det finns ingen kraftskoppling mellan planet och löpbandet. På samma sätt, om du startar upp planmotorn kommer den att röra sig framåt i förhållande till marken oavsett hastigheten på t han löpband. Även om du tänker på lite friktion i hjulen så behöver du bara köra motorn något för att skapa tillräcklig kraft för att motsvara friktionen. Varje ytterligare ökning av plankraft kommer att flytta det framåt, oberoende av löpbandets hastighet.

Planet tar bara fart när dess lufthastighet räcker för att skapa lyft över sina vingar. Om det inte finns någon vind kommer planet att behöva markhastighet som är lika med den hastighet som krävs för hissen.

Så frågan genom att fråga om löpbandets hastighet som matchar hastigheten på planet för att hålla det stillastående är ett omöjligt scenario utom när planet är stillastående (till jorden), i vilket fall löpbandet också kan vara i vila. I själva verket kan löpbandet gå snabbare eftersom det inte påverkar planet i alla fall.

Allt beror på hur nära löpbandet är vingarna och hur stora löpbandet är.

Om du hade en massiv löpband kommer den att dra luft med den när den rör sig med hög hastighet under planet. Luften kommer att strömma under och över planetens vingar orsakar lyft även om planet i förhållande till jorden inte rör sig. Hjulen fungerar bara för att stödja planet på plats samtidigt som friktionen mellan planet och löpbandet minskas tills planet lyfter.

Luftflödet som orsakas av löpbandet och den lilla friktionen genom hjulen kommer att skjuta planet bakåt såvida inte strålarna eller propellerna ger tillräckligt med kraft för att övervinna detta drag så att planet förblir stilla relativt jorden (under löpbandet). p>

Den enda rörliga ytan jag känner är så stor att den drar tillräckligt med luft för att låta ett plan starta är en gian t rund boll. Om planet använde sina drivkrafter för att hålla det stilla i förhållande till solen kommer det att ta mycket lätt.