Varför använder formlerna för planck ' s h istället för hbar?

svaren.com sidan du nämnda använder följande formel: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Observera att det finns $ 2 \ pi $ -faktorn i nämnaren – så $ h / 2 \ pi $ kan förenklas som den vanliga $ \ hbar $. De kunde antagligen inte skriva denna karaktär eller ville undvika terminologi och symboler som bara är kända för fysiker. Men det finns inget numeriskt fel på svaret.com-sidan. I vilket fall som helst motsvarar definitionen $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ som är den vanliga ”icke-reducerade” Planck-längden. Se Wikipedia för samma formel:

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

Numeriskt är det $ 1,6 \ gånger 10 ^ {- 35} $ meter. (Uppdatering: Oxford Dictionary of English har fel formel – de utelämnade $ 2 \ pi $ och glömde att korsa $ h $ också. Men de betyder helt klart samma Planck-längd.) Ibland använder människor också den ”reducerade” Planck. längd som är mer snygg och ”professionell” i en mening: $$ L_ {Planck, reducerad} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Observera att $ 8 \ pi $ i täljaren kan också slås samman med $ \ hbar $ för att få tillbaka $ 4h $ – så den reducerade Planck-längden är två gånger (på grund av kvadratroten) fel Planck-längd som du skulle få genom att använda $ h $ istället för $ \ hbar $. Men vad är den verkliga anledningen till att $ 8 \ pi $ har lagts till där?

Anledningen till att $ 8 \ pi G $ visas istället för $ G $ är på grund av att $ 8 \ pi G $ är mer naturligt en konstant än $ G $: denna diskussion är analog med behandlingen av $ 4 \ pi $ i elektrodynamik. Den konstanta $ 8 \ pi G $ är naturlig eftersom Einstein-Hilbert-åtgärden är $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ The mest naturliga koefficienten skulle vara $ 1/2 $ istället för $ 1/16 \ pi G $ vilket gör det naturligt att ställa in $ 8 \ pi G = 1 $. Den reducerade Planck-längden är något längre (fem gånger eller så) – mindre extremt liten. Ännu oftare pratar partikelfysiker om Planck-energin och den reducerade Planck-energin som ligger nära $ 10 ^ {19} $ respektive $ 10 ^ {18} $ GeV.

Konventionen för den konstanta $ G $ valdes ursprungligen av Newton som ville skriva gravitationskraften som $ GMm / r ^ 2 $. Tja, det skulle vara mer naturligt att ha faktorn $ 4 \ pi $ eller $ 8 \ pi $ i nämnaren, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Du kan se att $ \ Gamma $ helt enkelt är $ \ Gamma = 8 \ pi G $, och det vore naturligt att ställa in $ \ Gamma $ lika med en.

Jag hoppas att jag inte har för att förklara varför $ \ hbar $ är mer naturligt än $ h $ för vuxna fysiker. ”Laymen” -versionerna av formlerna kan vara enklare med $ h $ – men de handlar om våglängd etc. Vuxna fysiker vet att sinusens våglängd är proportionell mot $ 2 \ pi $. Och de mest grundläggande ekvationerna, såsom Schrödingers ekvation eller kommutatorerna för $ [x, p] $, har en enklare form i termer av $ \ hbar $ än $ h $, av kurs.

Tillbaka till $ G $: människor var tvungna att välja konventionen hur man normaliserar $ G $ i högre dimensioner. Den vanliga konventionen, som implicit används ovan, är att Einstein-Hilbert-åtgärden alltid har koefficienten $ 1/16 \ pi G $. Det innebär att kraften i $ D $ rymdtid inte kommer att vara $ GMm / r ^ {D-2} $ men den kommer att ha några $ D $ -beroende numeriska koefficienter i sig.

Bäst önskar Lubos

Kommentarer

• Tack så mycket Lubos! Jag förstår att det borde finnas en reducerad Planck ' s konstant där på ett eller annat sätt (med hbar eller med h över 2 pi).Jag ser dock en skillnad mellan Wikipedia ' s ekvation och Oxford dict ' s ekvation, eftersom jag ' har uppdaterat frågan som ska visas.
• Tack för uppdateringen, felanvändarnamn. Oxford Dictionary har ett fel – de glömde att skära $ h $, antingen på grund av otillräckliga teckensnitt eller inkompetenta författare haha.