Varför är geosynkron bana en höjd snarare än en hastighet?

Jag håller helt med om att det inte är intuitivt. Orbitalmekanik är dock ofta inte intuitiv, förmodligen för att vi inte får uppleva en orbital miljö regelbundet (om någonsin).

Låt oss bara anta att vi pratar om cirkulära banor för resten av mitt inlägg, eftersom du är nybörjare i omloppsmekanik.

Det finns bara en hastighet som en given cirkulär bana av en viss höjd kan gå. Tänk på att stabila banor inte kräver någon kraft från en motor för att fortsätta som de har varit. I grund och botten, i en cirkulär bana, matchas den fallande-mot-planeten-rörelsen exakt av rörelsen framåt.

Sir Issac Newton tänkte på detta och exemplifierade det med ett tankeexperiment som heter Newtons kanonkula .

Observera att om banhastigheten är för långsam för den höjden, kanonkulan kraschade in på planeten.

Och om banhastigheten är för högt för höjden kommer banan att vara en ellips snarare än cirkulär, annars kan kanonkulan till och med rymma jorden helt och hållet!

Slutligen, om kanonkulan startas med” rätt ”omloppshastighet för att vara i en cirkulär bana på den höjden, kommer den varken att krascha eller flyga iväg , men kommer att förbli stabil och färdas runt jorden med den specifika hastigheten.

På olika höjder är denna Goldilocks-hastighet annorlunda. Om banan är närmare planeten är tyngdkraftseffekten högre, så det kretsande objektet måste gå snabbare för att motverka fallet. När det kretsande objektet är längre bort finns det mindre fallkraft på grund av tyngdkraften (eftersom gravitationskraften är baserad på avstånd), så objektet behöver inte röra sig så fort för att motverka fallkraften.

Från Wikipedias Geocentric Orbit-artikel vet vi att Low Earth Orbit till exempel kan vara en höjd av 160 km. På denna höjd är Goldilocks-hastigheten till hålla en cirkulär bana ca 8000 m / s och tar cirka 90 minuter.

Vad händer nu om vi tittar på en något högre höjd? Tja, hastigheten är lägre och banan som det kretsande objektet färdas får större (cirkeln är större), så båda dessa faktorer gör att banan tar längre tid. En något högre bana kan ta 100 minuter istället för 90.

För en geosynkron bana måste banan ta 24 timmar istället för 90 minuter, eftersom jorden tar 24 timmar att snurra. Detta händer när cirkeln expanderas till en höjd av cirka 35000 km. The Goldilocks v Elocity på denna höjd är cirka 3000 m / s.

Allt detta är något förenklat, men de breda strecken finns alla där. Som Organic Marble påpekade kan du försöka tvinga ett fartyg att kretsa på en annan höjd under en 24-timmarsperiod, men det skulle inte vara en stabil omloppsbana, du skulle behöva motorer för att hålla det igång.

Kommentarer

• Observera – Goldilocks-hastigheter garanterar inte att ditt fartyg förblir för varmt, för kallt eller precis rätt.(Tyvärr, jag ’ har aldrig hört termen Goldilocks hastighet och behövde göra ett ord).

Enkelt uttryckt, för en cirkulär bana och en given central kropp är omloppsperioden enbart en funktion av radien. En geosynkron bana är bara omloppsradien vid vilken motsvarande period är lika med jordens rotationsperiod.

Du kan flyga runt jorden på 24 timmar i vilken höjd som helst, men inte utan framdrivning.

Se den här frågan för matematiken.

Tänk på det här. En cirkulär bana kännetecknas av det faktum att den fiktiva centrifugalkraften exakt avbryts av (centripetal) tyngdkraften. Om så inte var fallet, om gravitationen var starkare, skulle satelliten börja sjunka. Om tyngdkraften var svagare skulle den börja stiga. I båda fallen skulle den inte längre vara i en cirkulär bana.

En geostationär bana kännetecknas av sin vinkelhastighet (specifikt $ 2 \ pi $ radianer per dag). Centrifugalkraften för cirkelrörelse vid konstant vinkelhastighet är proportionell mot radien. Gravitationskraften är proportionell mot den inversa kvadraten av Så du har en ekvation i (generisk) form, $ Ar = B / r ^ 2 $ där $ A $ och $ B $ är några siffror. Denna ekvation är inte giltig för godtyckliga $ r $; snarare kan du beräkna värdet på $ r $ genom att lösa ekvationen för det.

När du ansluter siffrorna är det exakt vad som händer. Centrifugalkraften för en massa $ m $ ges av $ F_c = mv ^ 2 / r = m \ omega ^ 2r $ där $ \ omega $ är vinkelhastigheten. Gravitationskraften för en massa $ m $ är $ F_g = GMm / r ^ 2 $ där $ G $ är Newtons konstant på tyngdkraften och $ M $ är jorden massa. När dessa två är lika har du $ m \ omega ^ 2 r = GMm / r ^ 2 $ eller $ r = \ sqrt [3] {GM / \ omega ^ 2} $. När du ansluter siffrorna får du $ r \ simeq 4,23 \ gånger 10 ^ 7 $ meter, eller efter att du har subtraherat jordens radie, en höjd av cirka 36 000 km. Detta är det enda värdet för vilket de två krafterna avbryts med en vinkelhastighet på en hel varv per dag, så detta är den geostationära höjden.

\ begin {align} T & = 24 \ times60 ^ 2 & & = 86400 \, s \\ \ omega & = 2 \ pi f & & = {2 \ pi \ över T} \\ F & = {mv ^ 2 \ över r} & & = m \ omega ^ 2r \\ \ därför F & = m \ vänster ({ 2 \ pi \ över T} \ höger) ^ 2r & & = {4 \ pi ^ 2mr \ över T ^ 2} \ \ \ text {And} F & = {GMm \ over r ^ 2} \\ & \ text {För att höjden ska bibehållas :} \ sum f = 0 \\ {4 \ pi ^ 2mr \ över T ^ 2} & = {Gm \ över r ^ 2} \\ \ därför r ^ 3 & = {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ \ därför r & = \ root 3 \ av {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ T & = 86400, G = 6,67 \ times10 ^ {- 11 }, M = 5,97 \ times10 ^ {24} \\ \ därför r & = \ root 3 \ av {86400 ^ 2 \ times6.67 \ times10 ^ {- 11} \ times5.97 \ times10 ^ {24} \ over4 \ pi ^ 2} \\ r & = 42,226km \; \ text {från mitten av jorden} \\ h & = rR \\ \ därför h & = 42,226km-6370km = 35856km \ end {align} $ M $ är jordens massa. $ R $ är jordens radie.

Detta är mitt försök att få värdet. Det är lite avstängt men detta kan bero på noggrannheten hos de använda siffrorna och med tanke på att banan är perfekt cirkulär.

För att den ska kunna kretsa korrekt måste den ha samma vinkelhastighet som jorden ( rotera med samma hastighet), vilket innebär att ha samma frekvens eller tidsperiod för rotation som jorden.

Vikten på det kretsande föremålet måste då vara lika med den centripetala kraften som den verkar på på grund av den cirkulära rörelsen. Som andra har sagt om dessa två krafter inte är lika kommer den antingen att krascha i jorden eller flyga iväg.

Från denna punkt och framåt är det bara matematik att beräkna det verkliga värdet, kom ihåg att detta värde på r ger en kretsradie som är avståndet från jordens centrum, så du måste subtrahera R för att få höjd över jorden.

Utifrån detta kan du beräkna en hastighet som satelliten färdas med men i detta område används vanligtvis vinkelhastighet mer. De flesta skulle inte veta vad de ska göra med den här hastigheten, eftersom det inte betyder mycket och inte är användbart.

Kommentarer

• Tack ! Matematiken uppskattas och underskattas i andra svar.

Vad är så speciellt med det magiska numret 22.000 som gör det möjligt att göra en geosynkron bana på den höjden men inte på någon godtycklig höjd?

Lyft ett objekt till en orbitalhöjd på 1 meter. Släpp det. Vad händer?

Splat

Centrifugalkraften för en geosynkron bana av 1 meter kan inte stödja ett objekt mot tyngdkraften.

Antag sedan att Pluto befinner sig i en geosynkron bana … det vill säga dvärgplaneten måste kretsa runt jorden på 24 timmar. Den hastighet den skulle behöva för det är ungefär ljushastighet. Vad händer?

WHOOOSH

Pluto kommer att försvinna ut i det stora svarta därifrån, eftersom jordens allvar inte kan innehålla en objekt i en geosynkron bana på 7,5 miljarder kilometer.

Någonstans mellan dessa två ytterligheter är höjden där gravitationen och centrifugalkraften på en 24-timmars bana är lika och balanserar varandra.

Den – speciella höjden är 22 000 miles.

Rör dig högre upp och centrifugalkraften på en 24-timmars bana är för stark … den kommer att övervinna tyngdkraften och resultera i en elliptisk bana, eller få objektet att bryta sig från jorden helt och hållet. Rör dig lägre, så är centrifugalkraften för svag för att balansera tyngdkraften och objektet börjar förlora höjd, vilket återigen resulterar i en excentrisk bana eller eventuellt till och med kraschar i atmosfären.

Kommentarer

• ” Antag sedan att Pluto befinner sig i en geosynkron bana … det vill säga dvärgplaneten måste kretsa runt jorden på 24 timmar. Hastigheten det skulle behöva för är ungefär ljushastighet. ” Vad menar du? I sin nuvarande omlopp är Pluto uppenbarligen inte ’ t kretsar kring jorden, så frågan är tuff. För ett objekt i geostationär eller geosynkron bana runt jorden är objektets storlek irrelevant: en dammfläck eller en enorm sten, betyder inte ’, omloppet är detsamma.
• Jag menade exakt vad jag skrev – ” Antag att … ” – i betydelsen ” Gör tankeexperimentet att Pluto befinner sig i en geosynkron bana runt jorden ”. Nej naturligtvis är det inte vad som händer i verkligheten, utan för att undersöka originalaffischen ’ antagande att vilken som helst bana kan vara geosynkron vi kan leka med idén – att Pluto befinner sig i en geosynkron bana – ett ögonblick och se vilka konsekvenser det får. De är a) på det avståndet har jordens allvar en näst intill försumbar effekt på Pluto och b) Pluto skulle behöva röra sig i ljushastighet. Dvs: OP ’ s antagande är fel.
• För att vara tydlig finns det ett viktigt men outtalat antagande här med Pluto-tankeexperimentet att Pluto ’ s omloppsavstånd från jorden inställdes ursprungligen till ett visst antal. Eftersom både jorden och Pluto kretsar kring solen (och vid mycket olika omloppsperioder, plus Pluto ’ s bana är elliptiska), varierar avståndet mellan jorden och Pluto avsevärt. Jag antar att @MichaelKarnerfors bara valde ett genomsnittligt jord-Pluto-avstånd, eller något, för att beräkna den hastighet Pluto skulle behöva för en 24-timmars jordcentrerad bana.

(Nej-matematiskt svar)

Du faller runt jorden i vilken höjd som helst. Även om du kastar en boll, faller runt jorden. Den har bara inte tillräckligt med hastighet för att undvika att träffa den. Så den söta fläcken är för en bana att du färdas tillräckligt långt så att krökningen på jorden är lika med hur långt du föll. Ju närmare du är desto mer tyngdkraft, desto mindre avstånd har du att falla innan du träffar, desto snabbare måste du gå för att jorden ska kurva bort från / ut ur ditt fall. Ju högre du är desto långsammare kan du gå när jorden böjer dig ur vägen – mindre tyngdkraft. På så sätt behöver du inte lägga till energi – du bara fortsätter att falla. På en viss höjd matchar din hastighet exakt jordens rotation. Det här är fantastiskt för att vi kan rikta vår parabolantenn på den.Om du vill vara geosynkroniserad på någon annan höjd kan du vara – men du behöver bränsle / energi och mycket av det för att göra det och du kommer inte vara viktlös. Du är bara viktlös för att du faller. Om det fanns ett torn byggt upp så högt skulle du stå på det med allvar precis som du skulle göra här nere. Lite mindre tyngdkraft – men ändå tyngdkraften. Därför faller du. Du är tyngdlös när du faller ner här också. Du är bara för orolig om att hålla fast landningen för att lägga märke till det.

Det finns inget magiskt nummer 22.000.

Om du, som du säger, kunde uppnå en geostationär bana i vilken höjd som helst, kan du gå till vilken plats som helst på jordens ekvatorn, hålla ett föremål på armlängden, släpp det och förvänta dig att den förblir på plats och i huvudsak svävar i luften. När allt kommer omkring reser du och objektet ungefär 1000 mil i timmen runt jordens axel. Vi vet alla att objektet helt enkelt skulle falla till marken. vid cirka 17 000 mil per timme för att stanna kvar i omlopp, ta cirka 90 minuter att fullborda en omlopp. Vi vet också att månen befinner sig i en omloppsbana runt jorden (strängt taget, jord-månens barycenter), ligger cirka 240 000 mil bort, och fullföljer en bana på cirka 27 dagar och reser ungefär 2500 mil i timmen. Vi vet också att tyngdkraften följer den inversa kvadratiska lagen och minskar i proportion till avståndets kvadrat.

Vad säger detta oss För en sak, ju närmare ett föremål kroppen går, desto mer måste den motverka tyngdkraften, vilket det bara kan göra genom att resa snabbare, vilket kräver större acceleration för att förbli på den stängda, böjda vägen vi kallar med tanke på de två exemplen på en låg jordbana och månen måste det finnas en oändligt antal omloppsavstånd, var och en har tillhörande hastighet och period. Det måste därför finnas en bana där perioden sammanfaller med jordens rotation, och den kommer att ha sitt eget specifika avstånd.

Med tanke på ovanstående, med kännedom om jordens gravitationsacceleration (~ 9,8 m / s / s vid ytan), jordens radie (den punkt vid vilken tyngdkraften har det värdet), den inversa kvadraten lag och formeln för cirkulär rörelse som hänför sig till radie och period till acceleration, kan vi beräkna det avstånd som en omlopp kommer att ha en önskad period. Det visar sig att omloppsavståndet vid vilket perioden sammanfaller med jordens rotation sker någon 22 000 mil upp.