Varför är GPS beroende av relativitet?

Felmarginal för position förutsagd av GPS är $ 15 \ text {m} $. Så GPS-systemet måste hålla tiden med en noggrannhet på minst $ 15 \ text {m} / c $ vilket är ungefär $ 50 \ text {ns} $.

Så $ 50 \ text {ns} $ fel i tidtagning motsvarar till $ 15 \ text {m} $ fel i avståndsprognos.
För $ 38 \ text {μs} motsvarar $ fel vid tidtagning $ 11 \ text {km} $ fel i avståndsförutsägelse.

Om vi inte tillämpar korrigeringar med GR på GPS införs $ 38 \ text {μs} $ -fel vid tidtagning per dag .

Du kan kontrollera det själv med hjälp av följande formler

$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} } $ … klockan går relativt långsammare om den rör sig med hög hastighet.

$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}} } $ … klockan går relativt snabbare på grund av svag gravitation.

$ T_1 $ = 7 mikrosekunder / dag

$ T_2 $ = 45 mikrosekunder / dag

$ T_2 – T_1 $ = 38 mikrosekunder / dag

använd värden i den här mycket bra artikeln .

Och för ekvationer hänvisas till HyperPhysics .

Så Stephen Hawking har rätt! 🙂

Kommentarer

• Är $ R $ jordens radie eller omloppsradien?
• Men vad ’ är relevant för GPS är skillnaden mellan tidsstämplar från olika satelliter, eller hur? Och eftersom de ligger på samma höjd borde de tidsförskjutas med samma mängd, så skillnaderna borde vara i princip samma som utan relativitet. Jag menar att det inte ’ spelar någon roll hur mycket felet i klockorna är efter en dag, eftersom lokaliseringsfelet inte är kumulativt, eftersom satelliterna ’ klockor glider inte bort ’.
• Som noteras i detta svar , är det viktigt att notera att de angivna värdena motsvarar skillnaden mellan faktorerna på jorden och i omloppsbana – vilket betyder att uttrycken för $ T_1 $ och $ T_2 $ som ges don ’ t utvärdera till de angivna värdena, även om de angivna värdena är korrekta. Hattens spets till Michael Seifert som påpekade detta.
• @Dims 15/300000000! = 100 * 10 ^ (- 6), det motsvarar 5 * 10 ^ (- 8). Jag fick mitt svar genom att bara skriva det på google, men det borde vara lätt att se att 15 dividerat med 3 kommer att bli en ledande 5, inte en ledande 1.
• Massor av felinformation här. Enligt US Naval Observatory (skaparna av GPS för att ersätta LORAN): GPS använder INTE relativitetsberäkningar alls (upprepar, det använder INTE relativitetsberäkningar).

Det finns artikeln från Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html vilket förklarar ganska bra varför klockorna på en GPS-satellit går snabbare med cirka 38 mikrosekunder varje dag. helt klart oanvändbar och hävdar att detta (det faktum att vi behöver kompensera för de 38 mikrosekunderna för att få GPS att fungera) är ett bevis för allmän relativitet.

Problemet är att medan klockorna verkligen är avstängda med 38 mikrosekunder per dag och allmän relativitet är bra, vi skulle egentligen inte behöva kompensera för det.GPS i din bil eller din telefon har inte en atomur. Den har ingen klocka exakt nog för att hjälpa till med GPS. Det mäter inte hur lång tid det tog att ta sig från satellit A till GPS. Det mäter skillnaden mellan signalen från satellit A och signalen från satellit B (och ytterligare två satelliter). Detta fungerar om klockorna är snabba: Som så länge de alla är snabba med exakt samma belopp får vi fortfarande rätt resultat.

Det vill säga nästan. Satelliter står inte stilla. Så om vi förlitar oss på en klocka som är 38 mikrosekunder snabbt per dag, gör vi beräkningarna baserat på positionen för en satellit som är avstängd med 38 mikrosekunder per dag. Så felet är inte (ljusets hastighet 38 mikrosekunder gånger dagar), det är det (satellitens hastighet gånger 38 mikrosekunder gånger dag). Detta är cirka 15 cm per dag. Satellitpositioner korrigeras en gång i veckan. Jag hoppas att ingen tror att vi kunde förutsäga en satellits position under lång tid utan några fel.

Tillbaka till det ursprungliga antagandet att felet utan kompensation skulle vara 11 km per dag: Satellitklockorna multipliceras med en faktor som bara är blyg 1 så att de går i rätt hastighet. Men det skulle inte fungera. Effekten som producerar 38 mikrosekunder per dag är inte konstant. När satelliten flyger över ett hav är tyngdkraften lägre. Satellithastigheten förändras hela tiden eftersom satelliten inte flyger på en perfekt cirkel runt en perfekt rund jord gjord av perfekt homogent material. Om GR skapade ett fel på 11 km per dag okompenserat, är det ganska tänkbart att en enkel multiplikation av klockhastigheten skulle vara tillräckligt bra för att minska detta för att göra GPS användbar.

Kommentarer

• Trevligt. Men jag måste säga det från en filosofisk position för en experimentör, en maskin som gör att operatörerna riva ut håret (vilket GPS skulle vara i frånvaro av GR) fungerar inte ’ tills dessa beteenden förstår (vilket skulle hända när någon uppfann GR för att förklara avvikelsen). Men det ’ är en filosofisk punkt.
• Detta är det enda rätta svaret på den här sidan. GPS var ett betydelsefullt bevis för GR eftersom vi kan jämföra hastigheten på klockor i omloppsbana till dem på jorden. GPS-systemets noggrannhet är dock inte ’ beror inte på att satelliterna håller exakt tid. Så länge de håller samma tid fungerar systemet.
• GPS är faktiskt dåligt ” bevis ” av GR av anledningen till att du anger. gnasher har det rätta svaret – Einsteins fältekvationer används inte alls i GPS (föreställ dig det antal krusningar som är inblandade och datorkraften som behövs för att slösa bort all den energin – för att inte tala om ökad vikt för satelliter – särskilt för några decennier sedan)
• Det är ’ sant att det enda som behövs för att bestämma GPS-mottagarens position i förhållande till satelliterna är att satellitklockorna synkroniseras och överföringshastigheten är densamma. Men det är ’ relativt satelliterna. Användaren vill att GPS-mottagaren ska beräkna var den är på jorden, vilket kräver att man redogör för var satelliterna är i omloppsbana och hur jorden har roterat. Det är ’ varför satellitklockorna måste hållas synkroniserade med klockor på marken och varför de justeras för att hålla dem synkroniserade.
• @ MC9000: Ingen någonsin hävdat att Einsteins fältekvationer löses i farten av GPS-satelliterna ’ datorer. Geometrin för rymdtid nära Jorden approximeras tillräckligt bra av Schwarzschilds rymdtid, så det är inte nödvändigt att lösa fältekvationerna igen. I synnerhet beskrivs tidsutvidgningen i Schwarzschild med ganska enkla formler, så det är i första hand inte nödvändigt med någon omfattande talkramning.

Effekten av utvidgningstiden kan till och med mätas om du går från jordens yta till en bana runt jorden. Eftersom GPS-satelliter mäter den tid det tar för meddelanden att nå dig och komma tillbaka, är det viktigt att ta reda på i realtid att signalen tar för att nå målet.

Kommentarer

• GPS-signaler återgår inte till satelliten, de går bara till mottagare AFAIK …
• Men huvudpunkten kvarstår, och det är att mer tid går på satellit ’ s klocka än din klocka tillbaka på jorden, med med avseende på någon av er.
• Intressant är att allmän relativitet inte används i sig i beräkningar för GPS-system. Snarare är ett trevligt litet trick som involverar special relativitet (tillämpa en serie Lorentz-omvandlingar i oändliga steg) vad den gör. Detta visar sig vara tillräckligt noggrant och mycket enklare beräkningsmässigt.
• Du kan upptäcka tidsutvidgning bara genom att spendera några dagar i bergen. leapsecond.com/great2005/index.htm
• @endolith: … om du tar med dig en atomklocka!

Jag tror inte att GPS ” beror på relativitet ” i den meningen att en teknisk civilisation som aldrig upptäckte speciell / allmän relativitet skulle kunna göra ett fungerande GPS-system. Du kan alltid jämföra klockan i en satellit med klockor på marken och justera hastigheten tills de inte glider ut ur synkroniseringen, oavsett om du förstår varför de drev ut ur synkroniseringen. Faktum är att de synkroniserar dem empiriskt, inte genom att blint lita på en teoretisk beräkning.

Att fråga vad som skulle hända om klockorna drev med 38 μs / dag (av någon anledning) är en konstig kontrafaktisk eftersom det antyder ingen underhåller systemet, i vilket fall det förmodligen snabbt skulle ge efter för olika andra problem av icke-relativistiskt ursprung. Om någon håller synkroniserade delar av systemet måste du antagligen ange vilka delar. Till exempel om satelliterna exakt känner till sina positioner i förhållande till en tröghetsram som rör sig med jordens centrum, men orienteringen av jorden beräknas från tidpunkten på dagen, då skulle du ha ett ackumulerande lägesfel på 38 μs värde av jordrotation, eller ett par centimeter vid ekvatorn, per dag. Men om satelliterna exakt känner till deras position i förhållande till en koroterande referensram, skulle felet vara mycket mindre.