Varför är jordens ' gravitation starkare vid polerna?

Poängen är att om vi approximerar jorden med en oblat ellipsoid, så är jordens yta en ekvipotentialyta , $ ^ 1 $ se t.ex. detta Phys.SE-inlägg.

Eftersom den polära radien är mindre än ekvatorialradien måste densiteten av ekvipotentialytorna vid polerna vara större än vid ekvatorn.

Eller motsvarande, fältstyrkan $ ^ 2 $ $ g $ vid polerna måste vara större än vid ekvatorn.

–

$ ^ 1 $ Observera att potentialen här avser den kombinerade effekten av gravitations- och centrifugalkrafter. Om vi häller lite vatten på en ekvipotential yta skulle det inte finnas någon föredragen flödesriktning.

$ ^ 2 $ På samma sätt hänvisar fältstyrkan, känd som liten $ g $ , till kombinerad effekt av gravitations- och centrifugalkrafter, även om $ g $ ofta (vardagligt och något vilseledande) kallas gravitation konstant på jordens yta.

Kommentarer

• Fungerar argumentet ” du närmare masscentrum ”?
• Trevligt. Även om svaret aldrig använder termen ” centrifugalkraft, är ” som ’ är implicit i argumentet, eftersom ekvipotentialen är en ekvipotential i den roterande ramen.
• @Floris – Argumentet att ” du är närmare masscentrum ” kinda-sort fungerar, där kinda-sorta betyder ungefär 3/2 (i motsats till en) i det här fallet. Cirka 2/3 av reduktionen vid ekvatorn beror på att ekvatorn är 21 km längre bort från jordens centrum. Den andra 1/3 beror direkt på centrifugalkraft (och naturligtvis är den första 2/3 indirekt på grund av centrifugalkraft).
• @ DavidHammen – jag antar att i mina böcker ” gravitation ” är bara attraktionen mellan två massiva objekt; kraften som upplevs av en massa på jordens yta moduleras både avstånd och rotation, men bara den förra är ” gravitation ” i mina böcker. Sedan OP uppgav att han förstod rotationsdelen föreslog jag verkligen att fokusera på det enklaste sättet att ange den andra delen.
• Jag tror att Lubos för länge sedan skrev ett svar som förklarar något varför gravitation på grund av ekvatorn utbuktning är annorlunda än man naivt skulle tro. Jag ’ Jag ser om jag kan gräva upp det svaret.

Många ställen anger att jordens tyngdkraft är starkare vid polerna än ekvatorn av två skäl:

1. Centrifugalen kraft avlägsnar tyngdkraften minimalt, mer vid ekvatorn än vid polerna.
2. Polerna är närmare centrum på grund av ekvatorbulten och har därmed ett starkare gravitationsfält.

TL; DR-version: Det finns tre skäl. I storleksordning,

1. Polerna är närmare till jordens centrum på grund av ekvatorbulten. Detta stärker gravitationen vid polerna och försvagar den vid ekvatorn.

2. Ekvatorialbulten modifierar hur jorden graviterar. Detta försvagar gravitationen vid polerna och stärker den vid ekvatorn.

3. Jorden roterar, så en jordbunden observatör ser en centrifugalkraft. Th har ingen effekt vid polerna och försvagar gravitationen vid ekvatorn.

Låt oss se hur de två förklaringarna i frågan jämför med observation.I följande tabell jämförs vad en sfärisk tyngdkraftsmodell mindre centrifugalacceleration förutsäger för gravitationsacceleration vid havsnivå vid ekvatorn ($ g _ {\ text {eq}} $) och nordpolen ($ g _ {\ text {p}} $) jämfört med värdena som beräknats med den väletablerade Somigliana-tyngdkraftsformeln $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Kvantitet} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Fel} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0.03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0.04809 \ end {matrix} $

Denna enkla modell fungerar i en kvalitativ mening. Det visar att gravitationen vid nordpolen är högre än vid ekvatorn. Kvantitativt är den här enkla modellen inte särskilt bra. Den överskattar betydligt skillnaden mellan gravitation vid nordpolen och ekvatorn, nästan med en faktor två.

Problemet är att denna enkla modell inte tar hänsyn till gravitationens påverkan av ekvatorbulten. Ett enkelt sätt att tänka på den utbuktningen är att den adderar positiv massa vid ekvatorn men adderar negativ massa vid polerna för en nollförändring i massan. Den negativa massan vid polen kommer att minska gravitationen i närheten av polen, medan den positiva massan vid ekvatorn kommer att öka gravitationens ekvator. Det är exakt vad läkaren beställde.

Matematiskt, vad det rör sig om av massor är att skapa ett fyrsidigt ögonblick i jordens gravitation. Utan att gå in på detaljerna i sfäriska övertoner lägger detta till en term som är lika med $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ till gravitationskraft, där $ \ lambda $ är den geocentriska breddgraden och $ J_2 $ är jordens andra dynamiska form. Att lägga till denna fyrsidiga term i ovanstående tabell ger följande:

$ \ begin {matrix} \ text {Kvantitet} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Fel} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Detta enkla tillägg av fyrpolen ger nu en mycket trevlig matchning.

Siffrorna som jag använde ovan:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, jordens gravitationsparameter minus det atmosfäriska bidraget.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, jordens ekvatorialradie (medelvattenvärde).

• $ 1 / f = 298.25231 $, jordens utplattning (medelvatten värde).

• $ \ omega = 7.292115855 \ gånger 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, jordens rotation hastighet.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, jordens andra dynamiska formfaktor.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitation vid havsytan vid ekvatorn.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, vilket återspeglar den observerade skillnaden mellan gravitation vid ekvatorn och polerna.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, kvadraten för excentriciteten för figuren av jorden.

Dessa värden kommer mest från Groten, ”Grundläggande parametrar och nuvarande (2004) bästa uppskattningar av parametrarna av gemensam relevans för astronomi, geodesi och geodynamik. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , med standard gravitationsparametern modifierad för att utesluta atmosfärens massa. Jordens atmosfär har en gravitationseffekt på månen och på satelliter, men inte så mycket på människor som står på jordens yta.

Kommentarer

• Re ” Polerna är närmare jordens centrum på grund av till ekvatorbulten. Detta stärker gravitationen vid polerna och försvagar den vid ekvatorn. ” : Detta skulle inte stämmer om jorden hade en enhetlig massfördelning .
• @PeterMortensen – Det är felaktigt. Även om jorden hade en enhetlig densitet, skulle gravitationsacceleration vid polen vara större än den vid ekvatorn med en faktor på cirka $ 1 + \ frac 1 5 f $, där $ f $ är utplattningsfaktorn. Se Fördelning av gravitationskraft på en icke-roterande oblat sfäroid .
• Det ’ är verkligen bra att ha allt detta på ett ställe; Jag förstod aldrig riktigt allvaret i situationen förrän jag gick igenom allt på en gång.

Här ”ett enkelt argument som inte kräver någon kunskap om snygga saker som potential eller roterande referensramar. Tänk dig att vi gradvis kunde snurra jorden snabbare och snabbare. Så småningom skulle det flyga isär. I det ögonblick när det började flyga ifrån varandra skulle det som skulle hända vara att jordens delar vid ekvatorn skulle ha en omloppshastighet. När du befinner dig i omloppsbana upplever du uppenbar viktlöshet, precis som astronauterna på rymdstationen.

Så vid en punkt på ekvatorn är den uppenbara tyngdaccelerationen $ g $ (dvs vad du mäter i ett laboratorium som är fixerat på jordens yta) går ner till noll när jorden snurrar tillräckligt snabbt. Genom interpolering förväntar vi oss att effekten av den faktiska snurrningen ska vara att minska $ g $ vid ekvatorn, relativt det värde det skulle ha om jorden inte snurrade.

Observera att detta argument automatiskt tar hänsyn till jordens distorsion från sfäricitet. Den oblata formen är bara en del av interpolationen mellan sfäricitet och uppbrytning.

Det är annorlunda vid polerna. Oavsett hur snabbt du snurrar jorden kommer en del av jorden vid nordpolen aldrig att vara i omloppsbana. Värdet på $ g $ kommer att förändras på grund av förändringen i jordens form, men den effekten måste vara relativt svag, eftersom den aldrig kan leda till upplösning.

Skillnaden i fri fallacceleration mellan poler och ekvatorn har två bidragande faktorer. Jag kommer att diskutera dem en efter en.

Vid polerna uppmätt gravitationsacceleration är 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Vid ekvatorn är den uppmätta gravitationella accelerationen 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Med tanke på jordens ekvatorialradie och jordens rotationshastighet kan du beräkna hur mycket centripetalacceleration som krävs för att samrotera med jorden när du befinner dig på ekvatorn. Det kommer ut till 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Detta krävs centripetal acceleration (vid ekvatorn) går på bekostnad av den verkliga gravitationsacceleration vid ekvatorn.

Så vi kan rekonstruera vad den ekvatoriella gravitationella accelerationen skulle vara på en himmelkropp med samma storlek och densitet och ekvatoriella utbuktning som jorden, men icke-roterande. $ m / s ^ 2 $

Så det finns fortfarande en skillnad på 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Den återstående skillnaden beror på jordens utplattning: på ekvatorn är du längre bort från jordens centrum för gravitationsattraktion än vid polerna.

Poängen är om all effekt togs med i beräkningen. Matematik skulle sammanfattas att effekten av mer massa under dina fötter fortfarande är mindre än effekten av avståndet från masscentrum

En annan uppfattning är. Vid ekvatorn finns det utbuktning nära dig. Men från alla andra sidor av jorden är utbuktningen långt ifrån dig. Jämför med polen att all utbuktning är lika långt ifrån dig, det berättar skillnaden