Varför är kraft en vektor?

Uhm … du börjar med ett objekt vid vila och märka att om du trycker på den i olika riktningar rör sig den i olika riktningar? Lägg märke till att du kan ordna mer än två (tre för plana geometrier och fyra för fullständiga 3D-geometrier) icke-kolinära krafter för att avbryta varandra (förhoppningsvis gjorde du en styrketabellövning i din klass och har gjort det själv).

Demonstrationen på ett objekt som redan är i rörelse är något mindre uppenbart men du kan ta idéerna här och generalisera dem.

På sätt och vis är detta så uppenbart att det är svårt att svara eftersom nästan vad som helst du gör med krafter använder sin vektornatur.

Kommentarer

• Det är bara uppenbart för människor som är vana vid vektorer. Efter ett tag blir du så van vid att du glömmer att det var förvirrande att lära dig. Du glömmer vad du gjorde och visste ’ inte vid den tiden. gör det svårt att förklara saker för nybörjare. EG safeshere ’ s kommentar är korrekt. Men någon som undrar varför kraft är en vektor kommer också att undra varför momentum är. Jag minns bei ng förvirrad att kinetisk energi har en uppenbar riktning, men det är inte ’ t en vektor.
• Kinetisk energi har inte en riktning. Ett objekts momentum har en riktning. Ett 500 g-objekt som rör sig vid 2 m / s i den positiva x-riktningen har inte samma momentum som ett 500 g-objekt som rör sig med 2 m / s i den negativa x-riktningen, men de har båda samma kinetiska energi.
• @BillN mmesser314 är medveten om det, men det är ett vanligt nog missförstånd bland introstudenter (särskilt de mer tankeväckande). Han kritiserar uppfattningen att ” ser detta har en riktning ” är ett tillräckligt bra verktyg för att ge eleverna att skilja vektorer från icke-vektorer. Jag håller inte med eftersom jag ’ hellre behandlar frågan om kinetisk energi än att försöka ge introduktionsstudenter en mer abstrakt definition av ’ vektor ’, men det är en punkt som är värt att överväga.
• @dmckee Ja, jag viftade mig igenom Biot-Savart idag och försökte förklara varför strömmen, $ I $, är inte ’ tavektorn, men $ d \ vec {\ ell} $ är. Jag kvävde nästan medan jag mumlade. 🙂 Att ’ fortfarande är en otillfredsställande vektor för mig, men jag håller på näsan och går vidare.
• @BillN Jag tror att ditt KE-exempel är ett bra exempel på varför detta kan vara svårt några nykomlingar i fysik. Jag tycker att det ’ inte nödvändigtvis är uppenbart att KE saknar en riktningskomponent tills du ’ har gjort några experiment som visar att det finns en skalär ” energi ” värt att uppmärksamma.

Vektorer är saker som läggs till som små pilar. Pilar lägger till spets i svansen.

Antal stenar är inte en vektor. 2 stenar + 2 stenar = 4 stenar.

Förskjutning är en vektor. Om du flyttar 2 fot åt vänster och 2 fot åt vänster igen har du flyttat 4 fot. Två pilar 2 fot långa pekar åt vänster tillagda spets i svansen motsvarar en pil 4 fot lång pekar åt vänster.

Om du flyttar 2 fot åt vänster och 2 fot åt höger har du flyttat tillbaka till början. Det är samma sak som inte rör sig alls. Du kan inte lägga till stenar på detta sätt.

Kraft lägger till så här. Två små krafter till vänster motsvarar en stor kraft till vänster. Lika krafter vänster och höger motsvarar ingen kraft. Detta är varför kraft är en vektor.

Redigera – Kommentarerna lyfter fram en punkt som jag glättade över. Denna punkt tas vanligtvis inte upp när man introducerar vektorer.

Matematiker definierar en vektor som saker som beter sig som små pilar när de läggs ihop och multipliceras med skalärer. Fysiker lägger till ett annat krav. Vektorer måste vara oförändrade under koordinatsystemtransformationer.

En liten pil finns oberoende av hur du ser på den. En liten pil ändras inte när du svänger så att den nu är vänd framåt. På samma sätt ändras inte små pilar om du vrider pilen så att den vänder framåt.

Detta beror på att rymden är homogen och isotrop. Det finns inga speciella platser eller riktningar i rymden som kan förändra dig eller en pil om du flyttar till en ny plats eller riktning. (Om du flyttar dig bort från jorden är gravitationen annorlunda. Om detta betyder något måste du också flytta jorden.)

Däremot är en skalär ett enda tal som inte ändras under koordinatsystemtransformationer. Antal stenar är en skalär.

Koordinaterna som beskriver en vektorändring när koordinatsystemet ändras. Den vänstra komponenten i en vektor är inte en skalär.

Det finns ett 1-D matematiskt vektorutrymme parallellt med en vektors vänstra koordinat. Om du roterar koordinatsystemet kan det vara parallellt med vad som har blivit framåtkomponenten. En fysiker skulle inte säga att det är ett vektorutrymme.

Kommentarer

• Vad du förklarade matchar också en signerad skalar. Du borde ha inkluderat en ” framåt ” eller ” upp ” rörelse för att göra det tydligare.
• @RalfKleberhoff – Sant. Du tar upp en bra poäng.
• @RalfKleberhoff Hur är en signerad skalär inte en vektor i en enda dimension? Verkligen. Detta förvirrade mig alltid. Det verkar ha mycket, mycket mer gemensamt med vektorer än skalärer.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Bra fråga. Jag uppdaterade mitt svar för att ta itu med det.

En mindre nitpick: kraft är inte en vektor. Liksom fart är det en covector eller enform och en kovariant. Du kan se detta på flera sätt:

• från principen om virtuellt arbete: kraft är en linjär funktion som mappar infinitesimala förskjutningar $ \ delta \ mathbf {x} $ (en vektor) till oändligt små förändringar i energi $ F \ delta \ mathbf {x} $ (en skalär) och därmed en covector per definition.
• Newtons andra lag $ F = ma $: acceleration är en vektor som ”indexsänks” av massan för att ge kraft.
• konservativa krafter uppstår från differentialen av potentiell energi, $ F = -dV $, och skillnaden mellan en funktion är en form (kovariant).

Skillnaden mellan en vektor och en covector är kanske inte meningsfull om du ”vi har just börjat lära oss mer om fysik, och för närvarande vet vi att krafter kan” läggas tips till svans ”som vektorer kan räcka för praktiska beräkningar. Men det är något du bör börja uppmärksamma när din förståelse mognar: som dimensionell analys är det noggrant att hålla koll på vad dina fysiska objekt är, matematiskt, både för att bygga djupare förståelse och fånga fel.

Kommentarer

• Jag tycker att det här är en användbar kommentar eftersom det illustrerar att ” detta är det mest naturliga sättet att tänka på kraft ” är faktiskt inte nödvändigtvis sant. Covectors är helt naturliga saker och du kan föreställa dig en läroplan som fungerade lika mycket med dem som med vektorer. Det är en tradition i vårt utbildningssystem som vi inte gör (åtminstone uttryckligen).
• @FrancisDavey Jag skulle hellre säga att traditionen är att vi inte gör skillnad mellan vektorer och konvektorer förrän alltför sent och bara kalla dem alla vektorer. (Jag lärde ’ inte skillnaden uttryckligen tills jag tog allmän relativitet, eller möjligen kvantmekanik med behåar och kets. Det borde ’ ve varit tydlig i den första linjära algebakursen, där de föreföll som kolumnvektorer och radvektorer, men det var inte ’ t explicit.)
• Inte värt en nedröstning, men absolut inte värt en uppröstning. Jag ’ är inte glad över denna ” hur saker förvandlar ” definition av vad som utgör en ” vektor ”. Den matematiska definitionen av en vektor är mycket enklare: Vektorer är medlemmar i ett vektorrymd – ett utrymme utrustat med två operationer som följer åtta enkla axiomer. Enligt denna definition är krafter (i newtonsk mekanik) vektorer.
• @DavidHammen En ” vektor ” kan betyda antingen 1) en tangentvektor , dvs ett element i tangentbunten (eller mer generellt (0,1) -tensorerna i en tensoralgebra) eller 2) ett element i något allmänt vektorutrymme. Vanligtvis i fysik när vi säger ” vektor ” menar vi ” (tangent) vektor ”: vi skulle inte ’ t kallar skalar, funktioner, 2-tensorer, eller faktiskt, covectors, ” vektorer ” även om tekniskt sett alla är element i ett vektorutrymme. Lägg märke till att per definition # 2 till och med OP ’ s ” tvingar en vektor eller skalär ” är en meningslös fråga!
• Alla dessa saker är äkta vektorer. Vi

Acceleration förvandlas som en 3-vektor under rotationer (grupp O (3)).

Acceleration transformeras som en 4-vektor under rotation och boosts (Lorentz-grupp O (3,1)).

Acceleration kan mycket väl vara en del av en större struktur (t.ex.: 2 index tensor ) under en större grupp av transformationer inklusive rotationer, boosts, stammar och översättningar.

Min poäng är att när du säger att acceleration (eller kraft) är en 3-vektor (eller något annat), måste du ange för vilken grupp av transformationer. Till exempel, ”acceleration förvandlas som en 3-vektor under rotation”, och det är därför vi kallar det en 3-vektor.

Kommentarer

• Den här frågan handlade tydligt om Newtons fysik, som författaren inte förstår ’. Du ’ pratar med bestämmelser från mycket mer komplicerade fysikområden (som författaren kanske inte ens behöver). Det ’ motsvarar någon som frågar om Bernoulli ’ lag och du ber dem att specificera om vätskan är viskös. Förklara villkoren du använder och matcha tekniska nivån till frågan.
• @CodyP Inget alls! Tja, kanske gruppteori är lite högre än vad som behövs här, men … Definitionen av en vektor är intimt knuten till hur mängden beter sig under rotationen av koordinater. Det faktum att vi förenklar den idén till ” storlek och riktning ” tar inte bort ’ vikten av att förstå rotation av koordinatsystem och vad ’ är oförändrade och vad ’ inte är. Det kan vara avancerat, men det är ’ viktigt för att svara på OP. På nivån Kleppner och Kalenkow bör personen introduceras till en bredare definition av vektorer och koordinera rotationer.
• @CodyP Frågor på Stack Exchange-webbplatser är ’ t bara för OP. De är också en hållbar resurs för senare besökare. Svar på varierande nivå är en önskvärd sak, även om det är osannolikt att Gary får OP ’ s accept.
• Sant, men det ’ är fortfarande värdefullt för att förstå din målgrupp och definiera termer som boosts, tensor eller till och med ” transformationsgrupp ”. Du kan, för en analogi, prata om effekterna av viskositet i en fråga om Bernoullis ’ s lag, men att göra det utan vård är mer sannolikt att låta pedantiskt och förvirrande än användbart och tydligt.
• @CodyP sant, men kanske en dag återgår OP till sina frågor och förstår detta

Det verkliga svaret är enligt min åsikt inte några underliggande filosofiska argument om vad en kraft är. Det verkliga svaret är att tänka på kraft som en vektor ger dig en modell som uppfyller det enskilt viktigaste kriteriet för vilken modell som helst: det håller med med experiment. Det är också trevligt och enkelt, vilket är en extra bonus.

Att tänka på krafter som vektorer gör att du kan komma med förutsägelser om vad som händer när du gör experiment, specifikt experiment där du använder flera sätt till exempel en låda på is och dra i den med rep med fjädervågar inbäddade i dem för att mäta storleken på all kraft är inblandade. Mät och skriv ner alla krafter och deras riktningar, tänk på krafter som vektorer och beräkna den resultatnatkraft som verkar på lådan, vilket borde ge dig en förutsägelse om dess acceleration. Mät sedan dess faktiska acceleration. De två borde komma överens, inom några fel.

Människor har gjort experiment som detta, mer och mindre sofistikerade, under lång tid, och hittills har vi inte hittat något som tyder på att tänkande av krafter som vektorer ger fel resultat. krafter som vektorer kommer sannolikt att ge korrekta resultat nästa gång vi behöver också beräkna en förutsägelse.

Så vi lär oss att tänka på krafter som vektorer för att det fungerar. Och sedan kan filosofer diskutera om varför det fungerar, vanligtvis genom att sätta det i sammanhanget med en större bild, som också har motstått testet av experiment.

Med detta sagt finns det naturliga sätt att komma på idén att ens överväga att kraften är en vektor. Specifikt har varje kraft en riktning och en storlek. Som påpekas i andra kommentarer betyder detta inte nödvändigtvis att det måste vara en vektor (kinetisk energi har tydligt en riktning och en storlek, men anses vanligtvis inte vara en vektor). Men det räcker att fråga om det kan vara en vektor och att börja designa experiment kring den hypotesen.

Kommentarer

• Förändringar i kinetisk energi är skalära. Det finns ingen absolut kinetisk energi; om en absolut kinetisk energi ges som en vektor, förstås den vara relativt en referensram och indikerar i princip mängden energi som skulle konverteras om det givna objektet skulle sluta röra sig relativt den ramen. Det kan inte behandlas enbart som en vektor; till exempel två lika massor som rör sig i motsatta riktningar, med samma hastighet i förhållande till referensramen, lägger inte till noll kinetisk energi.
• @Kaz Din ” ingen absolut ” kommentar gäller även för momentum, så att ’ inte är en bra anledning eftersom momentum har visat sig vara användbart att tänka ungefär som en vektor. ” två lika massor som rör sig i motsatta riktningar, med samma hastighet i förhållande till referensramen, lägger inte till noll kinetisk energi ” Jag ser inte ’ problemet. Den kinetiska energin blir intern energi om du betraktar de två objekten som ett system. Problemet uppstår när du byter till en rörlig referensram, i vilket fall summan av den kinetiska energivektorn skulle bli icke-noll. Det är inte en bra egenskap för vektortransformation.
• (Naturligtvis blir den icke-noll. I bara trött. Det verkliga problemet är att vilken icke-nollvektor den blir beror på systemets interna egenskaper. Är de två objekten lika stora och rör sig med samma hastighet, eller är ett objekt större och långsammare? Detta påverkar den transformerade energin ” vektorn ”.)

Jag hade även den här frågan tidigare och tillbringade bra 5 timmar på den. I slutändan är förklaringen till detta bara att förskjutningen fungerar som en vektor. Och acceleration som det dubbla derivatet av det fungerar också som en. Varför fungerar förskjutning som en vektor ?? Det följer reglerna för trigonometri och förskjutningar i en riktning är oberoende av förskjutningen vinkelrätt mot den. Därför definierar vi vektorkoncept för att omfatta detta beteende. Varför följer förskjutning reglerna för trigonometri ?? Tja, detta har mer eller mindre hittats genom att observera snarare än härleda. Den mest grundläggande grunden för allt i matematik är trots allt också observation och logik.

För att få drullen lite ur vägen: du vet att kraft är en vektor från dess definition.

För att visa att det verkligen är, skulle du utföra experiment: börja med att fästa tre fjällvågar (som de som fiskarna använder för att väga fisk) till varandra vid samma punkt och dra i de andra ändarna av skalas horisontellt i 120 graders vinklar med lika kraft som inte är noll F. Konfigurationen är i den vackra ascii-bilden nedan, och du kan berätta att krafterna är lika genom att titta på avläsningarna på varje skala.

 F / / F ----- o \ \ F 

Du kommer också att märka att fästpunkten i mitten förblir stationär, det vill säga nettokraften är noll.

Om F var en skalär skulle det vara omöjligt att lägga till eller subtrahera exakt tre icke-noll F i vilken ordning som helst och få 0 som ett resultat.

Nu när du vet att kraft inte är en skalär, du skulle sedan försöka räkna ut ett sätt att få de tre Fs att lägga till noll, och du märker att om du parar riktningen på varje fjäder till varje F, kan du få exakt det:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Du skulle sedan göra ytterligare experiment, i olika inställningar, och upptäcka att i varje fall behandlar kraft som en skalär ihopkopplad med en riktning ger rätt resultat, vid vilken tidpunkt du skulle känna sig berättigad att säga: för beräkningsändamål har kraften både en storlek och en riktning .

En vektor är å andra sidan inget annat än en storlek parad med en riktning, så du har experimentellt visat att kraft är en vektor .

Det beror på typen av din inställning och om din tolkning av ordet ”vektor”. Begreppsmässigt är en rumslig vektor ett matematiskt objekt som används för att inkapsla mängder som har både en storlek och en riktning. När du applicerar en kraft på något beror nettoresultatet på objektets rörelse inte bara på hur hårt du trycker på det, utan också i vilken riktning du trycker på det, så det är nödvändigt att modellera krafter på ett sätt som tar riktningskomponenten i beaktande. Detta är lika sant i tre dimensioner som i en. Det är det enklaste sättet att tänka på det.

Ur ett matematiskt perspektiv, som du redan har nämnt, är det implicit i definitionen.

”Vi har fokuserat vår diskussion på endimensionell rörelse. Det är naturligt att anta att för tredimensionell rörelse beter sig kraft, som acceleration, som en vektor. ”- (Inledning till mekanik) Kleppner och Kolenkow.

Newton själv gjorde krafternas vektoriska karaktär till den första och andra följd av sina tre rörelselagar:

Resultat I:
En kropp med två sammanfogade krafter beskriver diagonalen för ett parallellogram, samtidigt som den skulle beskriva sidorna, av dessa krafter från varandra. .

Corollary II:
Och därmed förklaras sammansättningen av vilken som helst direkt kraft AD, utifrån två sneda krafter AC och CD, och tvärtom, upplösningen av någon direkt styrka AD i två sneda krafter AC och CD: vilken komposition och upplösning bekräftas rikligt från mekanik.

Kort sagt, krafter är kartesiska vektorer, i matematisk mening av vad som utgör en vect eller.

Avledningen av dessa resultat i Principia är ganska misstänkt. Newtons andra lag adresserar nätkraften på objektet medan Newtons tredje lag behandlar hur enskilda krafter kommer i par. Men hur ska man relatera dessa enskilda krafter till nettokraften? Till skillnad från Kleppner och Kolenkow, gör andra texter ett bättre jobb, om att krafter är vektorer är i själva verket Newtons fjärde rörelselag.

Ett handvågssvar (t.ex. Kleppner och Kolenkow) är att hävda att krafter fungera uppenbarligen som vektorer, och fortsätt sedan. Ett icke-vågsvar är att axiomatiskt hävda att krafter är vektorer och sedan gå vidare. Det finns en subtil men signifikant skillnad mellan dessa två svar. Handvågssvaret lämnar eleverna förvirrade. Det axiomatiska påståendet uppmanar eleverna att ifrågasätta axiomet. Nästa steg är naturligtvis att testa om axiomet gäller i laboratorieinställningar.

Egentligen är en fysisk kraft inte en vektor. Det är en linje i 3D. En linje med en storlek. En fysisk kraft innehåller följande egenskaper

• Riktning, $ \ mathbf {e} $
• En punkt var som helst längs linjen, $ \ mathbf {r} $
• Storlek, $ F $

För att beskriva en fysisk kraft med en vektor kombinerar du storleken och riktningen till $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ en enda vektor. Men det saknar fortfarande den information som behövs för att beskriva en fysisk kraft.

Du behöver också en plats (applikationspunkten eller handlingslinjen som den heter). Här har du valet mellan en faktisk punkt $ \ mathbf {r} $, eller motsvarande ögonblick om ursprunget $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Om du väljer det senare kan du återställa poängen med $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Kraftvektorn som du känner till används ofta eftersom den följer reglerna för vektoralgebra

• Tillägget är gjort efter komponent $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• Skalning görs med komponent $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Men platserna för två inriktningar sammanfaller inte som vetorer.

För att representera fysiska krafter med vektorer behöver du 6 komponentkvantiteter som kallas skruvar $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ som följer reglerna för linjär algebra och bär positionsinformationen inuti dem, vilket ger korrekta geometriska och algebraiska resultat.

Kommentarer

• Är detta den n: te definitionen av en kraft ” vektor ”?
• Läs det här inlägget för definitionen av en skruvvektor.

Låt oss tänka på vad som skulle hända om kraften var inte en vektor.

Observera först att:

Fysikens lagar är oförändrade i rymden. Ett objekt beter sig på samma sätt när det påverkas av en kraft oavsett om det är i Paris eller i Peking.

Dessutom noterar vi:

Fysikens lagar är oföränderliga under rumslig rotation. Att sparka en fotboll gör att den försvinner från dig oavsett om du är mot väst eller öst.

Tänk dig att vi applicerade en kraft på en boll som vilade på ett bord. Låt oss säga att vi observerar att:

Bollen börjar rulla öster med en hastighet av 1 m / s.

Vänta. Var kom ”öst” ifrån? Varför rullar inte bollen väst ? Därför drar vi naturligtvis slutsatsen:

Det måste finnas ytterligare information i kraft som vi applicerade på bollen.

Den ytterligare informationen är riktning .

Enligt Newtons andra rörelselag är kraften som verkar på en kropp proportionell mot hastigheten för förändring av momentum och i den riktning i vilken kraften tillämpas. Nu från uttalandet kan du se att kraften har en storlek och en riktning. Därför är det en vektor. Du kan till och med se det som punktprodukten av massa (skalär) och acceleration (vektor) som ger dig en vektor.