Varför finns det tolv toner i en oktav?

Den här frågan på math.se liknar det du frågar och svaren ger mycket detaljer:

Matematisk skillnad mellan vita och svarta toner i ett piano?

Vad som händer här är en mycket bekväm matematisk tillfällighet: flera av krafterna i 2 ^ (1/12) råkar vara bra approximationer till förhållanden med små heltal, och det finns tillräckligt med dessa för att spela västerländsk musik.

Kommentarer

• Jag tänker mer grundläggande, (3/2) ^ 12 (129.75) är nära en kraft på två (128). Således har femtedelarna på en 12-tonig lika tempererad skala ett förhållande på 1,498: 1 (ideal skulle vara 1,5: 1), vilket är närmare perfekt än för något annat rimligt antal noter.
• Jag ’ har läst diskussioner om 19-TET (19-tonars lika temperament) där en diatonisk skala skulle ha fem ” stor ” intervall på 3/19 oktav och två ” små ” intervaller på 2/19 oktav. En sådan skala skulle vara mottaglig för normal musiknotering om man tänker på t.ex. C # och Db är 1/3 steg från varandra. Det största konstiga skulle vara att nyckelsignaturer med upp till nio skärpor eller lägenheter skulle vara distinkta (snarare än att ha C # / Db, F # / Gb och B / Cb som par av ljudlika tangentsignaturer).
• Jag tror att detta citat inte gäller eller förklarar frågan. Det finns ingen slump här. Det är genom konstruktion.
• @ggcg Att n-tonens jämnhärdade skala består av frekvensförhållanden på 2 ^ (j / n) för helvärden av j är av konstruktion. Att 2 ^ (7/12) och 2 ^ (5/12) är bra approximationer till 3/2 och 4/3, och att det inte finns några lika bra approximationer av dessa förhållanden i 11- eller 13-tonars lika temperament är en faktum. Och inte en tillfällighet – den hänför sig till den fortsatta fraktionen av bas-2-logaritmen av 3. Att 2 ^ (4/12) är en anständig approximation till 5/4 är dock en slump så vitt jag kan se. Särskilda egenskaper hos siffran 12 är det som gör att 12-toners lika temperament fungerar ganska bra.

Två punkter som kanske inte har besvarats fullständigt.

• Varför är C-dur referensskalan för naturliga toner?

  Anglo-saxon-notationen döljer historien lite. Tradition från kyrkmusik ledde i Italien (sedan kort efter Frankrike och Spanien) till att namnen på referenshuvudskalan namngavs efter konventionella stavelser: Ut Re Mi Fa Sol La Si (detta motsvarar CDEFGAB ) kommer från de latinska texterna till ett mycket välkänt stycke från den tiden. Den sistnämnda enbokstaven notationen tar en annan utgångspunkt, men referenskaraktären för C-durskalan har kvarstått i ockidentala länder även om du kan hitta bevis på noteringar och tangentbord med andra anteckningar som referens. En av de viktigaste påverkningarna har varit konstruktionen av tangentbordsinstrument (särskilt kyrkans orgel). Den aktuella tangentbordslayouten är en kompromiss mellan den typiska bredden på händerna och spelar Ut (nu kallas mest Do eller C ) huvudskala enkelt och ha tillgång till alla halvtoner och några andra saker. Andra mönster har inte varit lika framgångsrika.

  Du måste också veta att teoretiseringen och standardiseringen av musik åtminstone fram till 1800-talet gjordes under beskydd av kyrkorna (ortodoxa, katolska, reformerade, …) och arbetade för enhetlighet. Under 1800-talet har en ännu större standardisering och internationalisering av tuning, musikundervisning och pianostyrning varit referens- och kompositionsinstrument. De senaste tre århundradena har gradvis undertryckt eller förlorat de flesta avvikande traditioner (vad gäller skalor, lägen, inställning) i Europa.Numera undervisas människor som lär sig om musik som ett bevis på C-durskalan som en grund för musikteori och minorskalan och hans varianter behandlas inte alltid rättvist.

• Varför är finns det en halvton mellan E & F och B & C och inte någon annanstans?

  Det finns flera skalor / lägen utanför huvudskalan, med ett varierande antal toner, där halvtonerna inte placeras mellan den tredje och fjärde tonen och mellan den 7: e och 8: e. De tre mindre skalorna (harmonisk, stigande, fallande) till exempel, men också dorian , phrygian , du kan läsa en uppslagsverkartikel om dem.

Kommentarer

• Faktum är att bara ut till la kommer direkt från psalmen, som bara sträcker sig från C till A, men det var bra eftersom systemet som använde dessa stavelser omfattade överlappande skalor med sex noter som kallades hexakord; dessa stavelser användes bredvid bokstavsnamnen på sju-tonskalan som verkar ha föregått dem. Ut applicerades på F, C eller G. Si tillsattes senare när hexachord-systemet bröt ner och stavelserna applicerades på skalan med sju noter. Huvudskalan existerade egentligen inte vid den tiden, eftersom det bara fanns fyra autentiska lägen och deras plagala motsvarigheter.

En femtedel är det minsta icke-oktavkonsonantintervallet med ett frekvensförhållande på 3: 2. Om du börjar stapla rena femtedelar är det första resultatet som är rimligt nära staplade oktaver (2: 1) 12 femtedelar, vilket visar sig vara 531441: 4096 i motsats till 128: 1 för 7 oktaver. Det är så nära du kan komma för ett rimligt antal toner per oktav. Så om du letar efter en tonalitet byggd från staplade oktaver och nästan perfekta femtedelar, kommer en tolvtonig uppdelning att vara ganska mycket vad du kommer fram till .

Detta råkar också tjäna några andra intervall (till exempel större och mindre tredjedelar), men värre än femtedelar. ”medel ton temperament” försöker få ett antal stora tredjedelar rena på bekostnad av att göra flera andra intervall såväl som vissa tredjedelar låter sämre, och ”väl tempererad tuning” får flera rena femtedelar och några trevliga tredjedelar i utbyte mot några mer osmakliga femtedelar.

Så under årtusenden har tuning ändrat sitt fokus från rena tredjedelar till rena femtedelar och slutligen bestämt sig för att bara göra oktaverna rena och bygga resten av skalan runt en lika tempererad femtedel, vilket resulterar i 12 lika tempererade halvtoner.

Kommentarer

• det var en mycket bra förklaring. tack. Jag är fortfarande intresserad av att dela upp oktaverna i olika antal halvtoner och spela med resultaten. Det får mig att undra om 12-semitonoktaven lät bra innan ” musik som vi känner den ” eller om det är något med en förvärvad smak, i vilket fall alternativa fördelningar av oktaven skulle kunna anpassas till, som i fallet med västerländsk vs indisk vs östasiatisk musik.

När två toner spelas tillsammans låter de bara tilltalande om deras vågkurvor samlas varannan cykel. Vi kallar dem harmonisk klingande.

Om vågkurvorna aldrig kommer ihop eller inte gör det inom några cykler, låter de missnöjda.

Vågkurvor kommer bara att sammanfalla om de två frekvenserna är multipla av varandra. Om en frekvens till exempel är 200 cykler per sekund och den andra är 600 cykler per sekund, kommer deras ljudkurvor att sammanfalla exakt 3 gånger varje sekund, och de kommer att låta harmoniska.

Genom att dela upp varje oktav i 12 intervaller maximerar du antalet glädjande tonpar. Det beror på att siffran 12 är delbar med fler små tal än något annat nummer mindre än 60. Det är delbart med 1,2,3,4 och 6. Siffran 60 skulle möjliggöra mer tilltalande kombinationer (1,2,3, 4 och 5), men det skulle vara löjligt att dela en oktav i 60 intervaller.

Så i modern västerländsk musik använder de 12 intervaller. Det ger maximalt antal glädjande kombinationer för att skapa harmoni.

Kommentarer

• Jag förstår inte ’ varför delarna är viktiga här. För att till exempel den jämnhärdade tritonen har ett frekvensförhållande 2 ^ (6/12) vilket är en av de värsta approximationerna (jämfört med bara intonation) i skalan medan den perfekta fjärde (2 ^ (5/12)) är en av det bästa (se länken i Matthew ’ s svar). Ytterligare en liten kommentar: Om en frekvens är 200Hz och en annan är 600Hz, förutsatt att de ’ synkroniseras, kommer de att vara i samma fas 200 gånger varje sekund, dvs var tredje cykel av snabbare.
• Frekvenserna behöver ’ t måste vara multiplar av varandra; de behöver dela en liten vanlig mutiple. Se mitt svar här .
• 60 halvtoner per oktav! det är ett utmärkt experiment att försöka: D
• @nonpop har rätt. Om vi delar oktaven i n lika stora intervaller är det inte viktigt för n att ha många faktorer. 16et har ingen användbar approximation till en perfekt femtedel. 30et har inga intervaller bättre än 15et, vars bästa femte är 18 cent bred (12et ’ s är 2 cent smal). Å andra sidan har vissa lika temperament med utmärkta intervall prime n, till exempel 19et, 31et och 53et.
• Ja, jag håller med @nonpop. Det här är något felaktigt. Inget av 12TET-intervallen ” raderar upp ”, bara justeringen ger perfekt anpassning men orsakar andra problem. 12TET är en kompromiss. Jag ’ har känt personer med perfekt tonhöjd som hävdar att ALLA 12TET-intervallen låter dissonant.

Anledningen är HJÄRNAN. Hjärnan gillar frekvenser som är enkla proportioner. Det tror att de går tillsammans. Du borde verkligen fråga, först, varför finns det oktaver?

Tja, oktaven representerar en fördubbling / halvering av hertz (cykler per sekund).

Så, midi-mitten C är 256 hz, och om du känner till dina datornummer kommer du ” inse att nästa oktav C ”är vid 512, 1024, 2048, etc och de lägre oktaverna är vid 128, 64, och (pimp din ritt) 32.

Jordbävningar, förresten, dyker upp runt 11 hertz.

Varje samhälle börjar med oktaven. ”Cos 1/2. Har du det?

(Jag föreslår att den 2: a Wienska skolan överger octaven förresten och också ställer in instrumenten. Niether gör någon mening för dem. Det nuvarande tillståndet med oktaver och tuning och liknande är rent hyckleri. Låt det gå, pojkar! Skårar också. Och spelar offentligt. Ingen kommer ändå.)

Hh HHm …

Hur man delar upp oktav?

Om vi startar den på C och delar den i 3 (vilket är en bra hjärnvänlig proportion) får vi en härlig 3-tonskala:

C, E , G #, C

Vad sägs om att dela upp det i fyra:

C, Eb, F #, A, C

”DET är trevligt”, säger hjärnan, ”men den är för SYMMETRISK. Båda dessa skalor verkar bara fortsätta för alltid och alltid, jag kan inte berätta vad som är vad. Jag vet! Varför mixar du inte och matchar proportionerna så att de blir lite mer ojämna? Då kan jag räkna ut basnoten. ”.

Och därmed föddes” Proto Major Thingy ”:

C, E, G, C

och ”Proto Minor Thingy”:

C, Eb, G, C

”Hang on a lite ”, säger hjärnan,” du saknade en anteckning, inte du? ”.

” Var? ”

” Mellan G och C, jag är ganska säker på att du hade något mellan G och C ”.

C, E, G, A, C?

” Thas TILL! Rock and Rollish. Fortsätt då, hur är det med den andra? ”

C, Eb, G, Bb, C?

”Hej, vad är det med Bb? Vi har aldrig hört det förut. Vilken typ av andel är det? ”

” Det är 10/12: e ”.

” Du menar 5 / 6ths. Okej. Spela upp det igen ”.

C, Eb, G, Bb, C

”Kay, det är bluesigt. Okej! Men det var för 70 000 år sedan och det finns massor av fattiga jävelbuggarin runt landskapet som blir knäckt och munkat av sabeltandtigrar och liknande. Lotta begravningar. Mucho sorg. Som Trump nuförtiden, borde du veta! Behöver variation. ”

” Permutationer? ”

” Visa mig. ”

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

”Vad är F-andelen? ”

” 4/3 ”

” Bra! Jag gillar det. 5 anteckningar. Låt oss ge det snygga grekiska namn. Slå upp det lite. Penta …? ”

”Tonic?”.

”Det är underbart”.

”Jag skojade. Du vet, för bokstavligt …”

” Nevermind. Det är fantastiskt. Vi följer med Pentatonic. Mer! Vi behöver mer! Nu finns det hövdingar, lera hyddor, smycken ”

” Jag behöver några regler ”.

” kay. Er .. behåll Minor tredje eller Major tredje och femte där det är, och flytta bara de andra … Jag vet, så här: flytta den sjunde upp, den sjätte ner, den fjärde upp och den andra ned! ”

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F #, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G, B, C

”Hej, om vi överlagrar dem alla, kommer vi” ”att få 12 underavdelningar av oktaven! Lysande!”

C , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

”Det är därför jag kallade BRAIN, son. Åh, och du” är välkommen. ”

Kommentarer

• Jag uppskattar humor (rätt uppe i min gränd) men det kan vara lite överdrivet för den här webbplatsen. Vad gör menar du med ” dela C i 3? ”
• @GeneralNuisance Sannolikt betyder att man delar upp oktaven i tre lika delar.
• Egentligen, i lika temperament är mitten C 261,63 Hz.
• Jag tror inte att förutsättningen är sund.

För västerländsk musik var grekerna de första som räkna ut matematiken som förekommer naturligt i övertonerna som genereras av horn och andra blåsinstrument. Grekerna tillämpade samma matematiska förhållanden (gyllene förhållandet) på strängar. Pythagoras uppfann pythagorasavstämningen av (3: 2) perfekta femtedelar och oktaver (2: 1) för att matcha naturligt förekommande harmoniska övertoner. Senare uppfann grekerna 7 modala skalor baserade på pythagorasjustering. Sju lägen med åtta toner i en skala. Dessa skalor var joniska, Dorian, Frygiska, Lydian, Mixolydian, Eoliska och Locrian. Vi använder fortfarande joniska (major) och eoliska (mindre). Bristen med naturliga övertoner är att oktaverna mellan varje läge var lite av från varandra. Aristoxenus på 4-talet f.Kr. uppfann de 12 tonerna mellan oktaverna i ett försök att använda samma förhållande mellan varje ton. Senare Keys uppfanns för att använda dessa 12 toner som en hemmabas för varje skala. Problemet var att dessa nycklar till sin natur är lite avstängda från varandra. För att lösa detta J.S. Bach i början av 1700-talet främjade användningen av Tempered Scale. Han utjämnade det naturligt förekommande gapet mellan var och en av de tolv halvtonerna. Mässingsinstrument under barockperioden hade en påse med skurkar av olika storlek för att justera för varje tangent som de spelade i . Stränginstrument var också tvungna att ställa om för varje tangentändring. Genom att använda den tempererade skalan kunde en artist växla mellan alla de olika tangenterna utan att justera om.

Kommentarer

• Okej, bra historia, men varför bestämde Aristoxenus sig för 12 istället för 13 eller 11?
• Aristoxenus ville använda samma förhållande 3/2 matematik.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html förklarar matematiken bakom den.
• Du bör förklara det i ditt svar.
• Det här svaret har många felaktiga uttalanden. Det gyllene förhållandet visas vanligtvis inte i harmoni. Grekiska lägen inkluderade inte joniska eller eoliska (och grekiska lägen är inte desamma som de vi lär oss idag med dessa namn; de grekiska namnen tillämpades på fyra av dessa lägen under medeltiden, medan eoliska, joniska och Locrian utvecklades senare). Det finns 7 distinkta tonhöjder i en skala, inte 8. Temperament uppfanns långt före Bach, och det temperament som Bach favoriserade var inte lika. Mässingskurkar har inget att göra med temperament och strängar behövde inte justeras för varje nyckeländring.

En enkel bild är ibland bättre än en enorm förklaring, så jag skulle också uppmuntra att kontrollera graferna i den här länken, du kan muspeka över 10edo till 19edo till exempel för att se skillnaderna mellan olika divisioner: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (titta bara på de starkaste konsonanser: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 och 3/5 – 5 / 3, resten av diagrammet är verkligen inte viktigt i jämförelse.)

I grund och botten är vad det tydligt visar att divisionen med 12 noter är den enda som gör förhållandena 3/2 och 4/3 (de viktigaste *** efter oktaven) nästan rena. Och tredjedelar / sjättedelar (förhållanden med siffran ” 5 ”, de näst viktigaste ***), är inte heller så dåliga. Ingen annan uppdelning med ett ganska stort antal sedlar, 10 till 19, kan inte ens närma sig detta. är matematiskt anmärkningsvärt och anledningen till att vi använder 12 anteckningar och inte 13, 11 eller etc.

** (” 1/3 ” betyder bara ett förhållande 4/3 med två oktavskift, det är precis som de ursprungligen presenterar siffrorna.)

*** (Vad jag menar är att om din hjärna enkelt vill känna igen och komma ihåg musik, behöver du hellre ett stort gäng femtedelar, fjärde och tredjedelar för att vara mer eller mindre stämda, i din musikalisk arkitektur, till och med melodisk, annars är det mest dissonanta ljud, vilket leder till buller och svårt att komma ihåg för din hjärna …)

Baserat på din formulering av frågan skulle jag säga att den är designad. Det är inte en tillfällighet att 12 halvsteg passar in i en oktav snarare än 11 eller 13. Även om detaljerna kan förändras om man antar att bara ställa in kommer jag att förklara med antagande om lika tempererad stämning. Först bör du veta att det finns en kontinuerlig frekvens och därför tonhöjder mellan två noter. Vi har konvergerat på ett särskilt val av tonhöjdskombinationer för den västra diatoniska skalan genom århundraden av experiment. Anteckningarna i en skala återspeglar vad som är behagligt för örat / öronen för en viss kultur. Med tiden standardiserade västerlänningar halvsteget genom att dela upp oktaven i 12 steg med förhållandet

f_octave = 2 * f_tonic

de införde begränsningen att förhållandet mellan två på varandra följande halvsteg var samma oavsett var du börjar,

f_1 / 2 = r * f_tonic (detta skulle vara en mindre sekund)

eftersom vi tvingar antalet 1/2 steg från tonic till oktav för att vara 12 får vi förhållandet

r ^ 12 = 2 eller r = 2 ^ (1/12)

IMO några inlägg här sätter vagnen framför hästen. Du kan inte visa att oktaven endast har 12 halvtoner med ovanstående definition av en halvton. Du frågar snarare vad förhållandet måste vara för att säkerställa att det finns 12 i en oktav.

För detta ändamål finns det alla möjliga alternativa kromatismer som försöker placera N lika steg i en oktav. Dessa resulterar i inställningsekvationen,

r = 2 ^ (1 / N)

Det finns en 24 TET som innehåller 24 lika kvartssteg i en oktav. Och du kan absolut bygga en skala med

r = 2 ^ (1/13)

eller någon annan rot av 2. Naturligtvis skulle detta INTE vara 1/2 steg i traditionell känsla av begreppet. Nu är frågan om hur vi kom dit en längre historia. Innan 12TET-inställningen har Just major-skalan med 8 toner (inklusive oktav) mer än 5 oavsiktliga. Du kan googla detta och hitta Wiki-artiklar om ämnet men det var, tror jag, bara skalor med så många som 17 oberoende anteckningar i oktaven. Även om alla på varandra följande anteckningar förmodligen är något annorlunda. Därför egentligen inte ett 1/2 steg. Vad du kallar ett 1/2 steg beror på hur du lärde dig termen.