Jag har ofta läst att metaller som är Fermi-vätskor bör ha en resistivitet som varierar med temperatur som $ \ rho (T) = \ rho (0) + en T ^ 2 $.
Jag antar att $ T ^ 2 $ -delen är motståndet på grund av elektron-elektroninteraktioner och den konstanta termen beror på orenhetsspridning.
Finns det ett enkelt argument för att visa detta? Eller kanske du kan peka mig på en trevlig referens?
Det verkar också som att för elektron-elektron-interaktioner för att införa en ändlig resistivitet är det nödvändigt med en viss spridning av umklapp (för att bryta galile- och translationell invarians). Är detta rätt? Vilken av dessa symmetrier (galileiska eller translationella) måste brytas?
Kommentarer
- Jag letar efter ett bättre svar, men min enkla förståelse är enligt följande: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. Och $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ är vad som definierar Fermis flytande beteende.
- Skalningen av $ T ^ 2 $ behöver både Umklapp- och elektron-elektron-spridning. Effektivt deltar en $ O (kT) $ -närhet av Fermi-ytan för kvasipartiklar i interaktionerna som innebär skalning, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: Att ’ är vad jag tänkte också, men var kommer umklappen in?
- Har någon några bra referenser om beräkningen av umklapp-effekten i Fermi-vätsketeorin?
- Det finns några enkla ” fasrymd ” argument att motivera $ T ^ 2 $ -beroendet; har du stött på dem, @jjj?
Svar
Hur elektron-elektron-interaktion leder till en $ T ^ {2} $ -beroende kan förklaras genom att förstå begränsningarna för elektron-elektron-spridning genom bevarande av momentum och uteslutningsprincipen.
Tänk på fermi-ytan på en elektrongas i 3D. Fermi-ytan är en sfär med radie $ k_ {f} $. Vid ändliga temperaturer upptar elektroner stater utanför Fermi-ytan som styrs av Fermi Dirac-ekvationen, karaktäriserade av ett skal utanför Fermi-sfären med en radie som är proportionell mot temperaturen. Det finns därför tomma tillstånd inom Fermi-sfären inom ett skal av samma radie.
Om vi aktiverar elektron-elektron-interaktioner med små interaktionsstyrkor kan vi betrakta det som spridning av elektroner mellan dessa tillstånd i ovanstående icke-interagerande bild. Elektroner, som är Fermions, kan endast ockupera tillstånd som redan inte är ockuperade, tillsammans med tillfredsställande bevarande av momentum. Således måste vi välja två elektroner, som båda finns på skalen med en radie proportionell mot T, på vardera sidan om ytan av radien $ k_ {f} $, så att man kan spridas till ett tomt tillstånd utanför $ k_ {f} $ yta och den andra till ett tomt tillstånd i skalet inuti $ k_ {f} $ ytan. Sannolikheten att plocka två sådana elektroner är sålunda proportionell mot $ T ^ 2 $.
Eftersom bidraget till resistivitet är proportionellt mot sannolikheten för dessa spridningshändelser leder dessa interaktioner till $ T ^ 2 $ beroende av motstånd.
Det finns strängare argument men jag tycker att detta ger en intuitiv bild, giltig i samband med svaga interaktioner och låg temperatur.
Svar
Eller kanske du kan peka på en trevlig referens?
Detaljerna bakom följande svar finns i följande arXiv-papper (och referenser däri) arXiv: 1109.3050v1 .
Finns det ett enkelt argument för att visa detta?
Det verkar inte men jag kan säga följande. konduktivitet på grund av elektron-elektronkollisioner ges i allmänhet av: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ där $ \ sigma $ är den elektriska ledningsförmågan, $ n $ är elektrontalsdensiteten, $ e $ är grundläggande laddning , $ m $ är elektronmassan , och $ \ tau_ {coll} $ är den genomsnittliga kollisionstidsskalan (eller avspänningshastigheten). Observera att resistivitet , $ \ eta $, är bara det motsatta av ledningsförmågan i den skalära approximationen.
För en Landau-Fermi-vätska kan den genomsnittliga avslappningshastigheten för elektroner på en Fermi-yta visas vara: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ där $ \ alpha $ är effektiviteten för momentumöverföring till det joniska gitteret som en dimensionslös mängd som uppfyller $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ är Boltzmann-konstant , $ \ hbar $ är Planck-konstant , $ W \ vänster (\ theta, \ phi \ right) $ är övergångssannolikheten för oelastisk spridning.
Citering från det hänvisade arXiv-papperet ovan:
Men det faktum att ett fast ämne inte har full översättningssymmetri har viktiga konsekvenser. Redan 1937 demonstrerade Baber en mekanism för ändlig resistivitet i en tvåbandsmodell där $ s $ -elektroner sprids från tyngre $ d $ -hål genom en skärmad Coulomb-interaktion … Umklapp-processer med ett band möjliggör överföring av fart till kristallkoordinatsystem …
där Umklapp-processer hänvisar till elektron- fonon och / eller fonon-fononspridning i ett galler. Författarna visar också att termen i vinkelparenteserna kan integreras i följande: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ höger)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ där $ \ lambda _ {\ tau} $ är en dimensionslös parameter som beskriver interaktionen effektiv i polaron -polaronspridning och $ \ epsilon_ {F} * $ är Fermi-energi för polaronerna. Efter lite algebra kan vi visa att: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Således är resistiviteten proportionell mot $ \ eta \ propto T ^ {2} $.