Jag läste att kanonisk kommuteringsrelation mellan momentum och position kan ses som Lie Algebra från Heisenberg-gruppen . Medan jag förstår varför kommuteringsförhållandena mellan momentum och momentum, momentum och vinkelmoment och så vidare härrör från Lorentz-gruppen, kommer jag inte riktigt dit den fysiska symmetrin i Heisenberg-gruppen härrör från.
Alla förslag?
Kommentarer
- Relaterat: physics.stackexchange.com/q/19029/2451
Svar
Du kanske vill se:
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf kapitel 13,
dvs föreläsningarna ”Kvantmekanik för matematiker: Heisenberg-gruppen och Schrodinger Representation ”av Peter Woit, där Heisenberg-gruppens betydelse diskuteras i detalj. Men dess fysiska betydelse är INTE som en grupp symmetrier av den fysiska situationen. Så var försiktig med snäva analogier mellan det kanoniska kommuteringsförhållandet och det ändliga ( säg $ n $ ) dimensionell Hiesenberg Lie-grupp $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Saken på förhållandets RHS $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ i den ändliga dimensionella algebra $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ är INTE identitetsmatrisen – det är helt enkelt något som pendlar med allt annat i Lie-algebra. Det var Hermann Weyl som påpekade att det kanoniska kommuteringsförhållandet inte kan hänvisa till en ändlig dimensionell Lie-algebra: i sådana algebror, en Lie-parentes $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (mellan kvadratiska matriser) har inget spår men identitetsmatrisen (eller en skalar multipel, som på RHS för CCR) har inte. Man måste skicka operatörer på oändliga dimensionella Hilbert-mellanslag ( $ t.ex. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) för att hitta fullständig förverkligande av det kanoniska kommuteringsförhållandet.
Ett annat sätt att förstå att beteendet hos den ändliga dimensionella matrisen Heisenberg Lie algebra skiljer sig radikalt från CCR är själva osäkerhetsprincipen. Produkten av RMS-osäkerheter för simulära mätningar från två icke-pendlande observationer $ \ hat {a}, \ hat {b} $ givet kvanttillstånd $ \ psi $ begränsas underifrån av det positiva verkliga talet $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ där $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (se avsnitt 10.5 i utgåva 3 av Merzbacher ”Quantum Mechanics”). Om $ c $ är en begränsad fyrkantig matris, och som i Heisenberg-algebra är den inte av full rad, det finns vissa tillstånd (de i $ c $ ”s nullspace) där osäkerhetsprodukten kan vara noll. Så den ändliga dimensionella matrisalgebra kan inte modell Heisenbergs fysiska postulat.
Se även Wikipedia-artikeln om Heisenberg-gruppen.
Kommentarer
- Mindre kommentar till svaret (v2): Tecknet i den visade Schroedinger-representationen av $ p $ är inte det konventionella tecknet.