Určete $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Chápu, jak vytvořit pole z [-1,1] amplitudy 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
řešení, které vidím, říká, že $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Nechápu, kam přišel $ \ sin $ od a že hodnoty 2 s korelují s. Viděl jsem důkazy, ale může někdo poskytnout jednoduché vysvětlení toho, co proměnné jsou. Díky
Odpovědět
Trojúhelníkovou funkci lze vygenerovat sloučením dvou funkcí pole, jak je uvedeno níže.
Odtud pochází i váš Krok 2.
Fourierova transformace konvoluce $ g (t) \ ast g (t) $ lze vypočítat vynásobením Fourierovy transformace $ g (t) $ sebou, tj. $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Připomeňme, že Fourierova transformace box funkce je funkce Sinc ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Proto $ G (w) $ je nějaká zmenšená verze funkce sinc a Fourierova transformace trojúhelníkové funkce je $ G (w) ^ 2 $.
Odpověď
Dobře, takže chápete, že signál $ x (t) $ je dán konvolucí dvou obdélníkových funkcí od $ -1 $ do $ 1 $ s výškou $ 1/2 $. Jediné, co zbývá, je určit Fourierovu transformaci této obdélníkové funkce. Můžete to udělat velmi snadno použitím definice Fourierovy transformace:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Jsem si jist, že tento integrál můžete vyřešit sami. Funkce sine přichází do hry, protože
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Nakonec je Fourierova transformace $ x (t) $ dána vztahem
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Odpověď
Základními funkcemi Fourierovy transformace jsou sinus a kosinus. Nemělo by vás překvapit, že se ve vaší analýze komplexního signálu objevila funkce Sin.