Podle Sommerfeldova modelu mají elektrony na úrovni Fermiho vztah
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
tj $ \ hbar k_F = m_ev_F $ s $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Ale jak se ukázalo, vypočítaná Fermiho energie je u mnoha vyšší než experimentální hodnota kovy. Teorie energetického pásma to vysvětlovala nahrazením $ m_e $ $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Nyní, když chci vypočítat rychlost elektronů na Fermiho úrovni, musím nahradit $ m_e $ $ m ^ * $? Zdá se, že ano, ale nějaký (ne tak spolehlivý) zdroj navrhl něco jiného. Existuje nějaký základní vztah, který se zrušil a způsobil, že se elektrony na Fermiho úrovni chovají jako nahý elektron?
Díky!
Odpovědět
Všimněte si, že Sommerfeldův model jednoduše zobecňuje Drudeovu teorii kovů zohledněním skutečnosti, že elektrony jsou fermiony, takže Pauliho vyloučení se stává velmi důležitým faktorem. V Sommerfeldově modelu není žádná efektivní hmotnost , o které by se dalo mluvit, protože člověk v zásadě ignoruje atomy (jádra) v systému a uvažuje o volném pohybu fermiony . Takže tam je vaše Fermiho rychlost dána pouze: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
U pokročilejších modelů, jako je řetězec těsného vázání, se začíná brát do úvahy periodické prostředí elektronu, konkrétně periodický Coulombův potenciál $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (nyní v $ \ mathcal {H} $ systému) a s určitými vzdělanými aproximacemi se k řešení Schrödingerovy rovnice používá přístup LCAO (lineární kombinace atomových orbitalů). Jak již víte, výsledkem je slavná pásová struktura elektronů v pevných látkách, kde se objevuje energetická mezera mezi valenčními a vodivými pásmy (polovodiče, izolátory). Kdykoli lze spodní část pásma (min. Kond. Pásma nebo max. Valenčního pásma) aproximovat pomocí paraboly, lze disperzi zapsat jako konstantní část plus kvadratický člen: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ s touto aproximací elektronu v těsném vazebném řetězci atomů lze popsat jako volně se pohybující, je-li použita příslušná efektivní hmotnost $ m ^ * $. Všimněte si, že termín $ cte $ je ve skutečnosti $ E_c $ nebo $ E_v $ (jen energie pásma popisující mezeru).
Stručně řečeno, pokud mluvíte o volném elektronu v modelu struktury pásma, pak efektivní hmotnost má být použito. Pro větší intuici, pokud jste viděli některé z derivací, možná jste si všimli prvku skákací matice $ t $, který se objeví při řešení vlastních čísel energie, je to ve skutečnosti síla (pravděpodobnost, že elektron přeskočí mezi atomy v řetězci, v modelu těsné vazby), která definuje, jak odlišná je efektivní hmotnost elektronu $ m ^ * $ od jeho zbytkové hmotnosti $ m_e. $ Ve většině případů jednoduše nepřímo úměrné $ m ^ * \ propto 1 / t, $ čím větší $ t $, tím lehčí jsou elektrony.