Jeg vil gå gennem afledningen af frekvensrepræsentationen af et impulstog.
Definitionen af impulstogfunktionen med perioden $ T $ og frekvensrepræsentationen med samplingsfrekvens $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $, som jeg gerne vil udlede, er:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Brug af den eksponentielle Fourier-serierepræsentation af impulsfunktionen og anvendelse af Fourier-transformationen derfra resulterer i:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
For at komme derfra til slutresultatet ser det ud til, at integrationen ville skal være over en periode på $ 2 \ pi $. Hvor $ \ Omega = -k \ Omega_s $, eksponenten ville være $ e ^ 0 $ og integrere til $ 2 \ pi $ og for andre værdier på $ \ Omega $, ville der være en fuld sinusbølge, der ville integreres til nul. Imidlertid er grænserne for integration negativ uendelig til positiv uendelighed. Kan nogen forklare dette? Tak!
Svar
Du har korrekt fundet ud af, at de forekommende integraler ikke konvergerer i konventionel forstand. Den nemmeste (og bestemt ikke-streng) måde at se resultatet på er at bemærke Fourier-transformationsrelationen
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Ved at skifte / moduleringsegenskab vi har
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Så hvert udtryk $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ i Fourier-serien omdannes til $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, og resultatet følger.
Kommentarer
- Dette er perfekt og meget nemmere, end jeg gjorde det til at være. Mange tak !!!
- Det andet svar var også korrekt. Jeg skiftede det accepterede.
Svar
@MattL foreslog en god, enkel måde at se ovenstående resultat på.
Men hvis du vil se resultatet i de normale analyseligninger, du nævnte, kan du gøre som nedenfor.
Sig S (t) er et periodisk impulstog. Så S (t) kan skrives som
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Hvis du nu tager firierserien af S (t), kan du skrive S (t) som
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Hvor $ C_n $ er eksponentielle Fourier-seriekoefficienter, og $ w_o $ er den grundlæggende frekvens.
Så fra eksponentiel fourier-serie ved vi, at
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Udskift nu i ovenstående udtryk værdien af S (t) fra det første udtryk.
Så $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nu skal du foretage en observation, hvis du observerer integralet, er det fra -T / 2 til + T / 2. I løbet af denne integrale periode skal du bemærke, at der kun findes en enkelt impuls $ \ delta (t) $. Alle andre impulsfunktioner i summeringen forekommer efter T / 2 eller før -T / 2. Så i alt kan ovenstående ligning for $ C_n $ skrives som
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Fra sigtningsejendom kan vi skrive ovenstående som
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Anbring nu denne værdi på $ C_n $ i den første S (t) ligning
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Find nu firiertransformationen af ovenstående ligning
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Så fouriertransformationen er $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Dette skal hjælpe.