I dette svar skriver Jim Clay:
… brug det faktum, at $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Udtrykket ovenfor er ikke alt for forskelligt fra $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Jeg har prøvet for at opnå det senere udtryk ved hjælp af standarddefinitionen af Fourier-transformationen $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ men alle Jeg ender med et udtryk så forskelligt fra hvad der tilsyneladende er svaret.
Her er mit arbejde:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ højre) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ højre)} + e ^ {- j2 \ pi t \ venstre (f-f_0 \ højre)} \ højre) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ højre) \ højre) dt \ end {align}
Det er her jeg sidder fast.
Svar
Dit arbejde er OK bortset fra problemet, at Fourier-transformationen af $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ ikke findes i sædvanlig fornemmelse af en funktion på $ f $, og vi er nødt til at udvide begrebet til at omfatte hvad der kaldes distributioner eller impulser eller Dirac deltaer, eller (som vi ingeniører ikke plejer at gøre, meget matematikernes afsky) delta funktioner. Læs om de betingelser, der skal være opfyldt for at Fourier-transformationen $ X (f) $ af signalet $ x (t) $ for at eksistere (i den sædvanlige forstand), og du vil se, at $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ ikke har en Fourier-transformation i sædvanlig forstand.
Når du vender dig til dit specifikke spørgsmål, når du først forstår, at impulser kun defineres i form af, hvordan de opfører sig som integrander i en integral, det vil sige for $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ forudsat at $ g (x) $ er kontinuerlig ved $ x_0 $, så er det lettere at udlede Fourier-transformationen af $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ venstre. \ frac {1} {2} \ højre [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ højre] $$ ved at tænke på, at $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ og så skal det være, at $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ er invers Fouriertransformationen af $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Svar
Derefter Brug bare en tabel med Fourier transform-par for at se, at $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $, og variabel erstatning ($ f_1 = f + f_0 $ og $ f_2 = f-f_0 $) for at få det, du har brug for.
Kommentarer
- Hvilket naturligvis rejser spørgsmålet om, hvordan den person, der skrev ned tabellen kom op med svaret i tabellen.
- @DilipSarwate 🙂 Nu stiller du ' et meget, meget sværere spørgsmål. 🙂
- Se mit svar for en version af svaret på det meget sværere spørgsmål, der muligvis passer mønster på denne stackexchange, hvis ikke om matematik.SE!
- @DilipSarwate: dig ' har allerede fået min +1. Tak, dejligt svar. Enig om matematik. SE-dudes ville være rystede. Det er OK, vi ' er ingeniører. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…