Jeg har brug for at beregne antallet af fotoner i en lysstråle $ P $ . Jeg ved, at den har konstant effekt $ P $ på tværs af bølgelængderne $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Så til beregning af dette har jeg brugt en formel, der blev givet i et andet SE-spørgsmål:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Det er fint , og ved hjælp af dette kom jeg med $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Men jeg er ikke helt overbevist om den formel, fordi jeg ikke er i stand til at udlede den fra $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
Svaret, jeg får fra formlen, synes rigtigt, men jeg har brug for bevis for det.
Kilde til ligningen: Antal fotoner
Kommentarer
- Så hvad er udtrykket for $ dE / d \ nu $, du brugte til at evaluere din integral?
- Nå er kraften jævnt fordelt over intervallet, så jeg sagde $ E = h \ nu $, således $ dE / d \ nu = h $
- Hvorfor ikke $ E = 2h \ nu $ ? Der er mange muligheder Hvorfor vælger du en bestemt? Ligningen $ E = h \ nu $ er relateret til energi fra en enkelt foton. Hvad hvis du ikke har en enkeltfotonkilde? Selvom din kilde er en enkelt foton. Disse ting producerer normalt mange tusinde enkeltfotonimpulser pr. Sekund, så igen, dit valg for $ E $ virker mærkeligt.
- Det ' er ikke så mærkeligt . I ' m beregner det samlede antal fotoner, der udsendes af kilden, og de fordeles jævnt. Med dette mener jeg, at effekten er den samme for hver frekvens i området. Så $ E = h \ nu $ skal være den funktion, jeg ønsker. Hvis ikke bedes du rette mig
Svar
Effekt er den mængde energi, der overføres pr. Sekund, så du vandt ” ikke være i stand til at beregne antallet af fotoner. I stedet beregner du antallet af fotoner pr. sekund. Jeg tager $ P $ til at betyde den samlede stråleeffekt inden for frekvensen spænder fra $ \ nu_1 $ til $ \ nu_2 $ .
Antallet af fotoner pr. sekund i et lille spektralinterval $ \ delta \ nu $ vil afhænge af forholdet mellem stråleeffekt i det spektrale interval og energien pr. foton i spektralinterval.
Strålens effekt er lig med antallet af fotoner pr. sekund divideret med energien pr. foton. Fotonerne har et frekvensområde, $ \ nu_1 $ til $ \ nu_2 $ . Problemet siger, at strømmen er den samme for hver frekvens cy inden for dette interval.
Lad N være det samlede antal fotoner pr. sekund, der overføres af strålen. Lad os vælge et lille frekvensområde fra $ \ nu_i $ til $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Vi kan foregive, at alle fotoner i det lille område har den samme frekvens, $ \ nu_i $ . Så antallet af fotoner pr. Sekund i dette interval er $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Men $ dP / d \ nu $ er en konstant: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
For at finde det samlede antal fotoner pr. sekund i hele området, skal vi tilføje alle bidrag fra alle de små områder:
$$ N (samlede fotoner / sek) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
over hele $ \ nu_i $ i området. Det er bare integralet
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
hvor $ N $ er antallet af fotoner pr. sekund inden for området fra $ \ nu_1 $ til $ \ nu_2 $ .
(Forhåbentlig har jeg ikke lavet nogen fejl i matematikken. Jeg er meget klodset med MathJax.
Kommentarer
- Det er fint, men hvad jeg ville vide er afledningen af formlen. Jeg mener , hvordan kommer du dertil fra $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ i formlen, jeg gav, er et antal fotoner pr. sekund . $ N $ i $ E = Nh \ nu $ er et antal fotoner, ikke et antal fotoner pr. Sekund.
- Fin, så sig $ P = Nh \ nu $ hvor $ N $ er antal oh fotoner pr. Sekund. Hvordan udleder du formlen til $ N $ når $ \ nu $ er et interval?
- Ah så: du skal forstå bedre hvad integralet betyder. Jeg vil redigere mit svar for at inkludere det.
- Redigeringen gjorde det så meget klarere! Men der er en sidste ting, der generer mig …Når du skriver antallet af fotoner pr. Sekund i det lille frekvensområde, hvordan får du det? Jeg kan ' ikke synes at pakke mit hoved rundt om denne idé. Det er den eneste tvivl, jeg virkelig havde. Fra starten ved jeg, at jeg skulle integrere en funktion over $ \ nu $, men jeg kunne ikke nå derhen. Dette afgørende skridt er virkelig afskrækkende på mig, det lyder meget lige frem, men jeg har lyst til, at jeg ' mangler et trin.