Bedste måde at lære trigonometri på

Schaums konturer er meget praktiske generelt og billige. Velegnet til en ældre elev. Ofte er svarene er lige efter problemerne versus i slutningen. Og du får alle svarene, ikke den ulige / lige gyp. Således egnet til selvlæring.

Jeg kan godt lide denne, samlet og ejer den: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Det er fra 1960-tallet, så sproget er ikke arkaisk, men det er ikke “ny”. Ikke sikker på, hvilken fordel andet end sprog du ønsker fra nyere versioner, men hvis du vil have en nyere, har de en nyere 4. udgave College Math, du kan få i stedet.

Bemærk, dette er en generel forberegning bog (og sandsynligvis hvad du har brug for). Men hvis du bare vil have en trig-primer, har Schaum det også. Tydeligvis flere trigproblemer i trig-bogen end precalc-bogen (som har alle normale gymnasiekurser dækket).

Ps Det ville være lettere at rådgive dig, hvis havde fortalt os, hvilke bøger der mislykkedes dig. Ligesom skrev jeg forgæves et langt svar?

Pss Jeg er ikke sikker på, hvorfor trig er så meget en forhindring for folk. Men jeg anbefaler først at tænke på synden og cos og sådan i sammenhæng med enhedens cirkel, ikke forholdet mellem siderne af trekanter. Det er bare et lidt enklere koncept og uden et forhold at holde styr på.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn gør det lidt mere komplekst her ved at tale om forhold. Men da jeg lærte det, var den store fordel en allerførste introduktion uden forhold … bare x- og y-akser i enhedens cirkel.

Kommentarer

• Tak for svaret! Og du ‘ har ret, jeg skulle have nævnt hvilke bøger. De 3 bøger er Trigonometry, 5. udgave af Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies af Mary Sterling, og College Trigonometry af Stitz og Zeager, 2013. Jeg ‘ Jeg starter prækalk på uni når sommeren slutter, og jeg ‘ er sikker på at jeg ‘ snart bliver fortrolig med trig hurtigt. Jeg håber bare at lære nok i den gennemsnitlige tid, så jeg afslutter min første kursus uden for mange buler ned ad vejen.
• Sørg for at du har mange problemer. Du føler muligvis ” Jeg ‘ får ikke det “. Men hvis du arbejder med store mængder problemer, bliver det bare rillet ind i dit hoved. Og arbejdsproblemer betyder at dække svaret, arbejde problemet hele vejen. Kontrollerer dit svar. Gentagelse (helt) af eventuelle problemer, der går glip af fra bunden (selv for fjollede tegnfejl). Behandl det som fysisk træning til en sport eller at lære et musikinstrument. Vær flittig.
• @RustyCore Bare for at være klar overfører jeg mig ‘ fra et lokalt college. Det, jeg studerede på college, var ikke relateret til matematik og havde meget få matematiske krav, hvorfor min første matematikklasse på uni var forkalkuleret.
• @guest, forstår jeg. Men jeg synes, at Rusty var overmodig og uhøflig. Jeg ‘ Jeg er helt klar over at få denne grad vil sandsynligvis være den mest udfordrende og stressende tid i mit liv, men jeg vil ikke ‘ at lukke mig for det bare fordi jeg ‘ har det svært med et emne. De fleste mennesker holder op og siger, at de ‘ bare ikke er matematiske mennesker, når de står over for en vejspærring og straks lukker sig for yderligere matematik eller fra det grundlæggende, de har brug for en opdatering af. Jeg ‘ prøver at undgå det, fordi jeg gjorde nøjagtigt de foregående år.
• @Lex_i, du lyder som en moden studerende, og jeg har haft masser af studerende som dig, der udmærker sig. Jeg håber, at dine eventyr i matematik giver dig glæde.

Måske kunne en visuel tilgang supplere dit studie? Der er mange sådanne ressourcer tilgængelige på nettet, ikke i lærebøger. F.eks. Trig intuitivt :

---

         
          ^{Bemærk: etiketterne viser, hvor hvert element “går op til . ”}

---

En anden: Interaktiv enhedscirkel . En anden: Inverse udgangsfunktioner .

Kommentarer

• it ‘ et nyttigt diagram. Jeg tilføjer en ansvarsfraskrivelse om, at begrebet lignende trekanter bruges for at forhindre forvirring.
• Jeg tror, at diagrammet ville være mere nyttigt, hvis det viste vinklen, og hvad alle funktionerne er en funktion af . Det ser ud til at det ‘ er designet til at huske, hvad du allerede ved, ikke til at lære trig fra bunden.
• @JessicaB: 1. det er ikke mit diagram: -). For det andet er der en fortælling, der følger med den; det er ikke beregnet til at stå alene. For det tredje finder jeg det nyttigt at se for eksempel, at $ \ sin \ le \ tan $ og $ \ sec \ ge \ tan $ og $ \ tan $ kan være ubegrænset osv.
• @ JessicaB: PS. Vinklen er vinklen i midten af cirklen, hvilken cirkel er desværre næsten usynlig i mit øjebliksbillede.
• @JosephO ‘ Rourke Jeg ved, du ikke ‘ Tegn det. Og jeg ved nu, at vinklen er den i midten, fordi jeg kender trig. Men da jeg først stødte på det, blev jeg meget forvirret, fordi jeg ikke havde ‘ ikke hentet forholdet til vinklen.

Jeg foretrækker personligt en lærebogsanbefaling, jeg kan downloade eller afhente, der [helst] ikke er gammel og ikke ikke gøre trigonometri skræmmende at nærme sig (især en, der lægger vægt på at forstå bevis bag egenskaber / sætninger).

Jeg har ikke lærebøger at anbefale, men jeg kan anbefale en tilgang til at gøre trigonometri, der letter matematisk forståelse af det ved at krystallisere logisk fundament for trigonometri og algebraisk struktur af trigonometriske udtryk. Der er to “niveauer” til dette, afhængigt af om du vil gå direkte til kompl ex-tal eller hold dig inden for reel trigonometri. I begge tilfælde er fokus på at identificere iboende kernen i trigonometri og reducere alt andet til det.

---

Real trigonometri

Nøglemængderne er $ \ cos (t) $ og $ \ sin (t) $ , som er $ x $ og $ y $ koordinater for punktet $ P_t $ på enhedscirklen, der lægger en længdebue $ t $ mod uret fra $ x $ -aks, som vist i billedet fra wikipedia :

Her måles lysbuelængde langs enhedens cirkel, og $ π $ er defineret som halvlængdes buelængde, så $ 2π $ er $ 360 ° $ . (Denne måde at måle vinkler på kaldes ofte at måle dem i ” radianer “, men jeg synes personligt, at det er et unødvendigt udtryk.) Bemærk at $ P_t = P_ {t + 2πk} $ for ethvert heltal $ k $ , fordi $ 2πk $ ville være et heltal multiplum af fulde runder. Bemærk også, at stigende $ t $ flytter $ P_t $ mod uret, mens du reducerer $ t $ flytter $ P_t $ med uret. Relateret til det er $ P _ {- t} $ refleksionen af $ P_t $ over $ x $ -aks.

Bemærk, at tegnene på $ \ cos (t) $ og $ \ sin (t) $ matcher nøjagtigt tegnene på $ x $ og $ y $ koordinater for punktet på cirklen. (Lyt ikke til folk, der fortæller dig at huske noget for at bestemme, hvilken af dem der er positiv i hvilken kvadrant.)

Og bare per definition, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ for hver ægte $ t $ . Dette er første nøgle algebraisk kendsgerning .

Næste $ \ tan (t) $ er defineret som $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historisk har vi også defineret $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ og $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ og $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , men ærligt talt er der ringe fordel at have så mange når $ \ cos, \ sin $ alene er tilstrækkelig.) Når du ønsker at forenkle ethvert trigonometrisk udtryk, der involverer $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , skal du sandsynligvis udføre den matematiske standardteknik for omskrivning i kanonisk form , hvilket i dette tilfælde betyder omskrivning i form af $ \ cos, \ sin $ alene, mens noterer sig, hvor det originale udtryk ikke er defineret (for eksempel $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ for enhver reel $ t $ kun når $ t $ ikke er et multiplum af $ π $ ).

andre vigtige algebraiske fakta opstår ved at overveje rotationsmatricer anvendt på vektorer. (Hvis du ikke er fortrolig med matricer som operatorer på vektorer, skal du først læse dette . For en introduktion til vektorer i euklidisk rum, se her .) Lad $ R $ være enhver rotation omkring oprindelsen i flyet. Derefter tilfredsstiller $ R $ tre egenskaber:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ for alle vektorer $ u, v $ (dvs. at summere to vektorer og derefter dreje resultatet giver det samme som at rotere de to vektorer først, før de summeres).
2. Hvis $ R, S $ er drejninger mod uret i vinkler $ t, u $ henholdsvis, så er $ R∘S $ en rotation mod uret af vinklen $ t + u $ .
3. Hvis $ R $ er en rotation mod uret af vinklen $ t $ , derefter:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ for enhver ægte $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ for enhver reel $ y $ .

Vi kan tage disse egenskaber som aksiomer (antagelse) om rotationer. Når alt kommer til alt, hvis $ R $ ikke tilfredsstiller dem, ville vi ikke kalde $ R $ en rotation til Begynd med. For at se hvorfor fanger ejendom (1) intuitionen, at roterende to tilsluttede stænger vil rotere begge stænger ved rotationsvinklen, mens de bevarer, hvor de forbinder. Ejendom (2) er kun nødvendig i forbindelse med ejendom (3). Ejendom (3a) følger af definitionen af $ \ cos, \ sin $ , og ejendom (3b) følger af den samme definition roteret $ 90 ° $ mod uret.

Egenskaber (1) og (3) giver matrixformen af en 2d-rotation:

Hvis $ R $ er en rotation mod uret af vinklen $ t $ , derefter $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Og derefter bruger vi egenskaben (2) vi få:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ for enhver reals $ t, u $ .

Multiplikation af matrixproduktet til højre og sammenligning med matrixen til venstre giver straks vinklen- sum identiteter:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ for enhver real $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ for enhver real $ t, u $ .

Når du ønsker at forenkle udtryk, der involverer trigonometriske funktioner på summen af vinkler, bør du overveje at bruge disse identiteter til reducere det udtryk, der skal være i form af $ \ cos, \ sin $ med så få vinkler som muligt.

Faktisk er alt trigonometrisk i tandproteser, der kun involverer aritmetiske operationer og trigonometriske funktioner, kan bevises ved hjælp af kun ovenstående definitioner og vigtige algebraiske fakta. Lidt underligt kan selv symmetriegenskaberne bevises algebraisk som følger.

Givet enhver ægte $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [vinkelsum]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [vinkelsum]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Hvis vi går videre til reel analyse, har vi brug for følgende fakta, som kan betragtes som aksiomer for nu (og begrundes separat senere):

1. $ \ sin “= \ cos $ .
2. $ \ cos “= – \ sin $ .

Som før er alt ca. n reduceres til disse, så der er ikke noget reelt behov for at huske noget mere (selvom det kan være praktisk at gøre det).

---

Kompleks trigonometri

Personligt, Jeg synes det er bedst at gå direkte til de kompleksværdige trigonometriske funktioner, hvis man ønsker et komplet og grundigt fundament for det matematiske felt af analyse . Man definerer simpelthen: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ for hver kompleks $ z $ (efter bevis for, at summen konvergerer).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ er to gange den første positive rod af $ \ cos $ ( efter at have bevist, at den findes).

Motivationen er, at vi vil have $ \ exp: \ cc → \ cc $ således at $ \ exp “= \ exp $ og $ \ exp (0) = 1 $ for at kunne løse generelle lineære differentialligninger, og vi vil have $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ sådan at $ \ cos “” = – \ cos $ og $ \ sin “” = – \ sin $ og $ ⟨\ cos (0), \ cos “(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ og $ ⟨\ sin (0 ), \ sin “(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , for at være i stand til at løse enkel harmonisk bevægelse, og Taylor-udvidelse bringer os til de ovennævnte definitioner for $ \ exp, \ cos, \ sin $ , som vi kan bevise at konvergere på hele det komplekse plan. Ovenstående definition af $ π $ er den nemmeste, som jeg kender til, og afhænger ikke af nogen geometri. (For flere detaljer om denne motivation, se dette indlæg .)

Det er tilstrækkeligt at sige, at med disse definitioner kan vi bevise ved grundlæggende analyse at $ \ exp, \ cos, \ sin $ tilfredsstiller de ønskede motiverende egenskaber samt en anden nøgleegenskab af $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ for enhver kompleks $ z, w $ .

Ved hjælp af denne egenskab kan vi bevise alle trigonometriske identiteter via algebraisk manipulation alene (og de holder for komplekse variabler og ikke bare reelle variabler).

For eksempel givet ethvert komplekst $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Ikke desto mindre er det ofte stadig nemmere at først bevise de samme algebraiske nøglefakta for $ \ cos, \ sin $ og brug dem derefter til at bevise andre identiteter end at reducere alt til $ \ exp $ .

Kommentarer

• For yderligere matematisk undersøgelse er du velkommen til dette chatrum .

Gør Saylor Academy eller edX har du noget, der kan hjælpe dig? De er begge gratis platforme med matematiske kurser. Saylor Academy bruger næsten udelukkende en lærebog – du kan faktisk få kredit gennem dem. Modernstates.org kan også hjælpe dig – de har et selvstyret kursus med videoer til at lære det. Rootmath kan også være en god ressource. Planlægger du at få kredit for dette kursus gennem Clep?