Jeg fik et problem til hjemmearbejde, hvor vi havde brug for at beregne tiden for et faldende objekt for at nå en bestemt hastighed når man tegner sig for trækkraft. Jeg gjorde det ved at indstille acceleration som en funktion af hastighed og integrering (det var en differentialligning).
Dette er dog et indledende fysikforløb uden kendskab til beregning, der kræves for at komme ind. Vi har ikke engang lavet derivater endnu strengt taget. Jeg var heldig nok til at have taget beregning før, så jeg var i stand til at genkende og løse differentialligningen.
Da jeg spurgte mine klassekammerater, hvordan de gjorde det, sagde de, at de rodede med tal, indtil de fik noget, der fungerede (det var online uden point trukket for forkerte svar For de fleste af dem delte de bare terminalhastigheden ved acceleration på grund af tyngdekraften, hvilket ikke giver mening, da vi ikke engang blev bedt om at tage tid til at nå terminalhastigheden, men 63% af den. Denne metode er tilfældigvis afrundet til det samme nummer som det rigtige.
Mit spørgsmål er, er der en eller anden måde at finde denne værdi ved hjælp af elementær fysik, eller gav min professor os et uretfærdigt problem? TAerne var ikke nogen hjælp, og jeg har undervisning i hendes kontortid.
Selve spørgsmålet er som følger:
terminalhastighed af en 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg regndråbe er ca. 9 m / s. Under forudsætning af en trækstyrke $ F_D = −bv $ skal du bestemme den tid, der kræves for et sådant fald, startende fra hvile, for at nå 63 % af terminalhastighed.
Kommentarer
- Da svaret involverer en eksponentiel / logaritme på en måde eller en anden, ville man være nødt til at udvikle en slags løsning, der involverer en eksponentiel / logaritme. Vælg din gift … Jeg har en fornemmelse af, at ' vil være en tilnærmelse af beregningen.
- Jeg tror, at en løsning, der involverer logaritmer, ville være fair spil. Vi ' forventes stort set at vide det. Problemet er, at jeg kan ' t i mit liv tænker på nogen måde at gøre dette på, der ikke ' t involverer en differentialligning. Måske jeg t ' s fordi jeg ' m plejede at gøre problemer på den måde efter at have taget beregning. Hvis nogen kunne komme med en anden metode, ville det blive meget værdsat.
- Det ' er muligvis relateret til, at 63% er $ 1 – e ^ {- 1} $
Svar
Hvis trækkraften modelleres som en lineær funktion af hastigheden $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, så er problemet ligetil . Den lodrette kraftbalance for en faldende dråbe er $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ som giver følgende differentialligning for hastigheden: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ I det begrænsende tilfælde af den maksimale hastighed / nulacceleration $ (\ dot {v} = 0) $ forenkles kraftbalancen til $$ mg = bv_ {max} , $$ eller $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Vender tilbage til vores differentialligning, hvis starthastigheden $ v (0) = 0 $, så er løsningen til denne ODE er $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Ved at definere tidskonstanten som $ \ tau = \ frac { m} {b} $ og ved hjælp af definitionen af terminalhastigheden forenkles tidsudviklingen af hastigheden til $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ højre]}. $$ Positionen findes, hvis det ønskes, let nok ved at udføre en anden integration: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Under forudsætning af, at den oprindelige position $ y (0) = 0 $ og forenkling, er løsningen til lodret position $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Så vi har nu analytiske løsninger til acceleration, hastighed og position for det faldende objekt som en funktion af tid og systemparametre, som alle er kendte ( undtagen $ b $). Bemærk dog, at den anmodede tid til at nå en hastighed på $ 0.63v_ {max} $ ikke er vilkårlig. Når en tidskonstant er gået, har vi $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Således er vi simpelthen nødt til at beregne værdien af tidskonstanten, og den resulterende værdi vil være dit svar. Med hensyn til dine klassekammerater har de ikke forkert. Vores mål er at beregne $ \ tau $, og hvis du ser nøje på vores tidligere matematik, vil du se, at $ \ tau $ faktisk svarer til terminalhastigheden divideret med $ g $. Oktavdiagrammer af position, hastighed og accelerationsfunktioner er inkluderet nedenfor som reference (udskift $ k $ med $ b $ i det andet plot).
Kommentarer
- Ja, vi blev aldrig lært at ligning, du linkede til. Men tak, dette er stort set præcis, hvad jeg ledte efter.Jeg ville bare vide, om der var en mere generel metode til at løse dette spørgsmål, som vi skulle være i stand til at finde ud af, og det ser ud til, at svaret er nej.
- @JakeChristensen Der kan stadig være en anden måde at finde dit svar på, men husk at Calculus (i det mindste Newton ' s Calculus) blev opfundet for at løse fysikproblemer 😉
Svar
Træk er typisk proportional med hastighed i kvadrat, og dermed er accelerationen nedad
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Løsningen på en sådan bevægelse er $$ \ begin {align} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ højre) \ slut {justeret} $$
Så tilslut den hastighed $ v $ , du vil målrette mod, og det giver dig afstanden $ x $ og $ t $ for at nå det.
PS. Hvis du ikke kender trækparameteren $ \ beta $ , men i stedet kender du tophastigheden, kan du estimere den ud fra tophastigheden ved at løse $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Svar
1) Find trækstyrken ved terminalhastighed. 2) Multiplicer denne kraft med .63 (63%) 3) Del denne nye kraft efter regnfaldets masse 4) Brug hastighedens accelerationstid kinematikligning til løsning af tid $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Kommentarer
- Dette er ikke ' t korrekt. Du antager, at accelerationen er konstant (hvilket det eksplicit ikke er i noget spørgsmål, der involverer skiftende hastigheder og luftmodstand) . Jeg ' antager her, at $ a (t) $ betyder $ a * t $, da hvis du mener $ a $ som en funktion af $ t $, giver det ingen mening ved alle.