Betydning af Fock Space

Antag at du har et system beskrevet af et Hilbert-mellemrum $ H $ , for eksempel en enkelt partikel. Hilbert-rummet i to ikke-interagerende partikler af samme type som beskrevet af $ H $ er simpelthen tensorproduktet

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Mere generelt for et system med $ N $ partikler som ovenfor, Hilbert-rummet er

$$ H ^ N: = \ underbøjle {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

med $ H ^ 0 $ defineret som $ \ mathbb C $ (dvs. det felt, der ligger til grund for $ H $ ).

I QFT er der operatører, der sammenfletter de forskellige $ H ^ N $ s, det vil sige skabe og udslette partikler. Typiske eksempler er oprettelses- og tilintetgørelsesoperatorerne $ a ^ * $ og $ a $ . I stedet for at definere dem med hensyn til deres handling på hvert par $ H ^ N $ og $ H ^ M $ , har man lov til at give en " omfattende " definition på det større Hilbert-rum defineret ved at tage den direkte sum af alle multi -partikelrum, nemlig

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

kendt som Fock Hilbert-rummet i $ H $ og undertiden også betegnet som $ e ^ H $ .

Fra et fysisk synspunkt er den generelle definition ovenfor af Fock-plads uden betydning. Det er kendt, at identiske partikler observerer en bestemt (para) statistik, der reducerer det faktiske Hilbert-rum (ved symmetrisering / antisymmetrisering for det bosoniske / fermioniske tilfælde osv …).

Kommentarer

• Fremragende svar! Jeg ville ønske, at de skriver QFT-lærebøgerne sådan.

Fantastiske svar, men bare for fuldstændighed måske det vil være illustrativt for at have et eksempel.

Antag at din $ H ^ 1 $ indeholder nogle enkeltpartikeltilstande $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $ osv. Fock-rummet fjerner begrænsningen på at være en enkelt partikel og består af $ H ^ 0 $ (som er 1-dimensionel), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $ osv. Dette tillader tilstande som

• vakuumtilstanden, lad os kalde det det tomme ket $ | \ rangle $,
• alle enkeltpartikeltilstande, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• alle to-partikel-tilstande, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (Bemærk, at denne konstruktion anser dem for at skelnes),

men vigtigst af alt

• enhver superposition af ovenstående som $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ højre) $.

Dette rum er i sagens natur uendeligt dimensionelt, selvom du starter med noget lille som en qubit. Hvis du vil forestille dig resultatet ved hjælp af en basis, skal du blot sammenkæde listerne over basistilstandene for alle komponenterne:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

I mest trivielle indstilling har den enkelte partikel ikke nogen særskilte tilstande, så $ H ^ 1 $ er 1-dimensionel. Det giver stadig mening at vælge en fiducial tilstand $ | {} \ circ {} \ rangle \ i H ^ 1 $ og konstruere Fock-rummet med basis

$$ \ {| \ rangle =: | | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

et eksempel på en tilstand kan f.eks. være en sammenhængende tilstand

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

og du har et godt eksempel på, hvorfor folk kan tale om excitationer som “fononer” i en harmonisk oscillator, selvom der bare er en enkelt partikel, der oscillerer!

Ja, det gør det. Du bygger et “stort” Hilbert-rum fra de “små”, hvis du vil.