Kommentarer
- Intet reelt behov for at gøre det, selvom du måske forventes at gøre det. Det ' er faktisk en langt mere grundlæggende identitet end noget, der kræver en integral. Du behøver kun at blande operatørerne fra side til side af bra-ket-udtrykket ved hjælp af definitionen af det hermitiske konjugat.
Svar
Som leftaroundabout skrev, er integration af dele ubrugelig. Du har ikke udtryk for operatører, så der er ingen grund til det. Men du kan bruge følgende: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align} hvor jeg brugte definition af hermitisk konjugat, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ og basis $ | c \ rangle $ af egenvektorer for en operator i et Hilbert-rum, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Svar
Du behøver faktisk ikke vælge et grundlag som angivet i Andrew McAdams svar.
Dette er nemmest at bevise i matematik (i modsætning til Dirac-notation), hvor $ (\ cdot, \ cdot) $ er det indre produkt, så for alle vektorer $ \ phi $ og $ \ psi $ i Hilbert-rummet, og for operatører $ A $ og $ B $ har vi \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dolk \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dolk A ^ \ dolk \ phi, \ psi) \ slut {align} mens derimod \ begynder {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dolk \ phi, \ psi) \ end {align} hvilket indebærer $ B ^ \ dolk A ^ \ dolk = (AB) ^ \ dolk $ som ønsket.
Kommentarer
- og her som en enkelt linje, bare for pokker af det: $ ((AB) ^ \ dolk \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dolk \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dolk A ^ \ dolk \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ dolk = B ^ \ dolk A ^ \ dolk $