Enheder i tyngdekonstant

Nå, vejen for at finde enhederne for konstanten skal man overveje ligningen, den deltager i:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ er en kraft: så den måles i newton ($ \ operatorname {N} $). En newton er den krævede kraft til at give et kilogram en acceleration på en meter pr. Sekund pr. Sekund: så i SI-enheder er dens enheder $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ og $ m_2 $ er masser: i SI-enheder måles de i kg, $ \ operatorname {kg} $, og $ r $ er en længde: det måles i meter, $ \ operatorname {m} $.

Så igen i SI-enheder kan vi omskrive ovenstående som noget som

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

hvor $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ og $ \ rho $ er rene tal (de er de numeriske værdier for de forskellige størrelser i SI-enheder). Så vi er nødt til at få dimensionerne af dette for at give mening, og bare ved at gøre dette er det umiddelbart tydeligt, at

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

hvor $ \ gamma $ er et rent tal og er den numeriske værdi af $ G $ i SI-enheder.

Alternativt hvis vi sætter newtoner tilbage på LHS vi får

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

For at besvare dette skal vi se på ligningen $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Så hvis G måles i $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, og massen måles i kg og afstanden måles i m, så måles kraften med $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, hvilket forenkles til $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

Og nu skal du definere $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ dine instinkter være at opdele det i $ \ rm m / s ^ 2 $ og kg. Hvis $ \ rm m / s ^ 2 $ er en accelerationsenhed og kg er en masseenhed, skal kraften være massetider acceleration. Dette er beskrevet af Sir Issac Newton PRS “anden bevægelseslov beskriver:

$ F = ma $

Så det giver mening, at tyngdekonstanten G måles i $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Kommentarer

• Ikke sikker på, at ” PRS ” er nødvendig for at beskrive Newton

Det er et problem.

Konstanter henviser til rene tal, så det er sjovt, at en konstant skal have måleenheder.

Det er et passende problem. Du finder, eller gætter på, at noget afhænger af noget andet, proportionalt som når x går fra 3 til 4, y går fra 6 til 8, (så y = 2 * x hvor 2 er en konstant) eller omvendt proportional (y = x / 2), så når du er tilfreds med at du fandt alt, der kan påvirke det, har du stort set din ligning, som y = a x ^ 2 + bx + c den enkle kvadratisk i en dimension eller noget lignende w = x y.

Det sidste trin er at tilføje konstanter, så tallene, resultaterne stemmer overens.

Men hvis enhederne ikke stemmer overens med dine måleenhedsprincipper, har du et problem. Du vil ofre for dette, hvis din konstant holder, selvom den har enheder, men måske være opmærksom på, at der er mere i ligningen end denne forenkling, eller selvfølgelig, at din oprindelige idé om måleenheder har en fejl. omdefiner dine første principper, dvs. hastighed er ikke meter / sekunder, så lad det være ude for nu.

Gravitationsligningen i denne form er også meget lig Coulombs lov, alt for ens, begge er for det meste guider at sige, at kraften er proportional med masserne af objekterne og omvendt proportional med kvadratet for deres afstand (i tyngdekraftens tilfælde)

Du får pæne kvadrater med tyngdekraften, dvs. (kg / m) 2, så hvis det hele er kvadreret, kan du måske undre dig over, hvad kg / m er.

For eksempel: Kvadrater vises, når du er addi ng ting gennem integration, integrerer et andet fint matematisk koncept, som dog i det mindste grafisk er en tilnærmelse.

Så vi siger, at hvis y = x ^ 2 så dy / dx = 2x og integration er det modsatte af differentiering bruger notation “Integral of x” som I (x), så I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (vi tilføjer altid en konstant i integration for den manglende del.

Så måske er (tyngdekraften) f = I (noget), så den ender i kvadrat.

Force er et sjovt dyr. Du har ting som impulser, som om du har ting som energi, arbejde og magt, alle sammen begreber i fysik, forbundet. For eksempel iirc-arbejde = strøm * tid, men det er bare sund fornuft at tale, så jeg stopper her.

Tilføjet:

For at begynde at tænke på kg / m, og hvad det er, en ting der dukkede op, disse to er forbundet, når noget bevæger sig en afstand, hvordan afhænger afstanden på messen? Nå, bestemt, når du fik friktion, er massen vigtig. Du kan også tænke på tæthed, som er masse / volumen.

Så F ~ volume ^ 2 og måske F = volume noget, der bringer det tilbage til kg m / s ^ 2. noget der i det opfattelige lokale er stabilt, konstant. Vær opmærksom på at hvis F = I (x) og den har m / s ^ 2 i sig, er der en integreret sammenhæng mellem hastighed og acceleration (s = v t + a t / 2) hvor s er afstand, v er hastighed, a er acceleration og t tid. Husk, at integration også er subjektiv, du integrerer over noget, så hvis w = x y og både x og y er variabler, kan du integrere w over x, og du kan integrere w over y. Disse er / (kan være) additiver forudsat at de er uafhængige coz hvis y = f (x) kan du gå til en enkelt variabel w = x f (x) => w = g (x)

Da dette spørgsmål havde 46K (!) visninger, kan det være nyttigt at tilføje et svar selv efter 4 år.

$ G $ er en eksperimentel konstant, der kræves for at matche Newtons potentielle energi til at eksperimentere. Newtons potentielle energi er $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Delt efter energi $ mc ^ 2 $ får du det dimensionsløse potentiale $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Da $ V $ er dimensionsløs $ GM / c ^ 2 $ er en længde. Denne længde fortolkes som halve radius af et sort hul med masse M, $ r_M / 2 $ . G har dimension $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Du kan derfor også skrive det dimensionsløse potentiale som $$ V = r_M / 2r $$ hvor den eneste konstant er en længde med en klar omend eksotisk fortolkning.

Den mest direkte fortolkning – en der overskrider paradigmaskillet mellem relativistisk og ikke-relativistisk fysik og er forbundet med Raychaudhuri-ligningen, er det med hensyn til volumenkontraktion.

En sky, der omgiver en masse af kroppen $ M $ , hvis bestanddele alle er i radial bevægelse, har et volumen, der som funktion af tid $ V (t) $ opfylder ligningen $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Hvis den oprindeligt er stationær, er den indledende acceleration af lydstyrken under tyngdekraften er $ – 4πGM $ , det negative indikerer at den begynder at trække sig sammen.

Så enhederne for $ GM $ er kubikmeter pr. sekund pr. sekund.

Generaliseringen af dette til en $ n + 1 $ dimensionel rumtid er $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ ved hjælp af konventionen $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , hvor $ G_n $ er $ n $ – dimensionel version af Newton-koefficienten; hvis enheder ville være meterⁿ / (second² kilogram).