Hvad er en simpel bare-ben-beskrivelse af udvekslingsinteraktion mellem to elektroner?
For eksempel synes det mig, at den eneste nødvendige ingredienser er Coulomb-interaktionen og kravet om, at den samlede bølgefunktion skal være antisymmetrisk.
Kommentarer
- Din intuition er korrekt. En matematisk beskrivelse af, hvordan disse to ingredienser konspirerer for at skabe udvekslingsinteraktioner, kan findes i Ashcroft & Mermin (kapitel 32) [dette er en ret standardberegning, og jeg ' er sikker på, at det også vises mange andre steder]
- Det er også i Griffiths intro kvante lærebog. Et eller andet sted.
- Det har intet at gøre med Coulomb-styrken, der vil også være en udvekslingsinteraktion mellem to ikke-ladede men ikke-skelnesbare bosoner.
Svar
Udvekslingsinteraktion er en tilføjelse til andre interaktioner mellem identiske partikler forårsaget af permutationssymmetri.
Denne tilføjelse er et resultat af en specifik form for flerpartikler bølgefunktion. Det giver intet bidrag til Hamiltonian i modsætning til “sædvanlige” interaktioner, men vises som et yderligere udtryk i ligninger for enkelt -partikelbølgefunktioner (f.eks. Hartree-Fock-ligning).
Interaktion normalt forbundet med energi og kræfter. Vi kunne finde udvekslingskorrektionen som en kraft, der blev tilføjet Coulomb-kræfter, men vi skulle først forstå, hvad der er kraft i kvantesystemet.
Lad os betragte to fermioner med enkeltpartikelkoordinatbølgefunktioner $ \ psi_a ( x) $ og $ \ psi_b (x) $ og spinbølgefunktioner $ \ phi_a (s) $ og $ \ phi_b (s) $. De mulige to-partikelbølgefunktioner er singlet med symmetrisk koordinatdel $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ og triplet med antisymmetrisk koordinat del $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$
Lad to-partikel Hamilton ikke afhænge af spins: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ så vil den gennemsnitlige energi for interaktionen være: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ højre | V \ venstre | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ højre > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ højre | V \ venstre | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ højre > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ højre | V \ venstre | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ højre > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ højre | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
Udtrykket $ U_ \ text {ex} $ er kun nul, hvis partiklerne er tæt nok på hinanden og deres bølgefunktioner overlapper hinanden (se billedet nedenfor). I klassisk grænse, når afstanden $ L $ er stor, er overlappingen nul, og $ U_S = U_A = U $
Lad os antage, at $ \ psi_a $ og $ \ psi_b $ ikke er negative overalt, hvor $ V $ fungerer som Coulomb-interaktion (dvs. positiv og falder, når afstanden øges). Derefter $ U $ og $ U_ \ tekst { ex} $ er positive, og energien i den symmetriske koordinattilstand (modsatte pigge) er højere end energien i den antisymmetriske koordinattilstand (lignende pigge). Hvis partiklernes gennemsnitlige positioner er faste, vil udvekslingsinteraktionen sætte spins i samme retning. >
Interaktionskraften mellem partiklerne kan defineres som den generaliserede kraft, der svarer til parameteren L: $$ F = – \ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ Inden for vores antagelser om $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ og $ V $ afledningen af både $ U $ og $ U_ \ text {ex} $ er negative. Derfor er den “sædvanlige” kraft positiv (frastødning) og udvekslingskraften er positiv for symmetriske koordinater s tate og negativ for antisymmetrisk koordinattilstand (attraktion).
Så udvekslingsinteraktionen for tilfældet med to partikler kan betragtes som yderligere kraft afhængigt af centrifugeringskonfiguration. For flere partikler er dette mere kompliceret.
Kommentarer
- Hej, hvordan man kan forstå den effektive kraft af udvekslingsinteraktion for Fermion er attraktiv? Meget kontraintuitivt.