Jeg leder efter en enkel forklaring på implikationen af at have homotetiske / ikke-hometiske præferencer i forhold til forbrugernes “præferencer, når de forbruger varer.
Kommentarer
- Indkomstudbudskurven er lineær, hvis og kun hvis forbrugernes præferencer er homotiske.
Svar
Fra et matematisk synspunkt, hvis funktionen $ f (x, y) $ er homogen (af en hvilken som helst grad), og $ g ( ) $ er en funktion, hvis første afledte er overalt ikke-nul, derefter er funktionen
$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$
er homotetisk. I økonomi pålægger vi normalt noget mere restriktivt, nemlig at $ g “> 0 $. Men dette gør en homotetisk funktion til en monoton transformation af en homogen funktion. Nu er homogene funktioner en streng delmængde af homotetiske funktioner: ikke alle homotiske funktioner er homogene.
Derfor bevarer ikke alle monotone transformationer homogenitetsegenskaben for en hjælpefunktion . Det enkleste eksempel er Cobb-Douglas-værktøjet. Det er homogent i første række. I en ordinær brugsramme er vi ok med monotone transformationer, så vi kan overveje den naturlige logaritme af den. Fin, men den naturlige logaritme bevarer ikke homogenitet. Ikke desto mindre vil det være homotetisk.
Den grundlæggende egenskab ved en homotetisk funktion er, at dens ekspansionsvej er lineær (dette er også en egenskab af homogene funktioner, og heldigvis viser det sig at være en egenskab for den mere generelle klasse af homotiske funktioner).
I forbrugsteorien betyder det, at hvis vi holder priserne eller prisforholdet konstant, hvis vi varierer forbrugerens indkomst, i $ (x, y) $ -planet tangenspunktet for indkomstbegrænsningen med den højest mulige ligegyldighedskurve afspejler altid et fast forhold $ x / y $. Dette indebærer igen, at udgifterne til hver vare vokser i samme tempo som indkomsten, og derfor forbliver udgiftsandele konstant i hele indkomstområdet (altid for et givet prisforhold). Selvom dette måske lyder begrænsende, er det faktisk vist, at , at homotetiske præferencer ikke pålægger nogen særlige begrænsninger samlet efterspørgsel (hovedsagelig på grund af at begavelsesvektoren er vilkårlig og uafhængig af præferencer, der ødelægger eller frigør ting).
Kommentarer
- Fantastisk svar. Kan du udvide din sidste sætning, hvor du nævner, at homotetiske præferencer ikke pålægger AD nogen særlig begrænsning. Med lidt viden om emnet ser det ud til, at jeg antager, at homotetiske præferencer er i modstrid med det empiriske bevis for Engels ' s lov eller at indkomstelasticiteten i efterspørgslen varierer på tværs af varer. Ved at se bort fra dette bevis ville vi ' ikke påvirke nogen rimelig konstruktion af AD?
- @StatsScared Tak. Du har sendt et spørgsmål om sagen economics.stackexchange.com/q/10629/61 , som allerede har genereret interessante svar. Hvis jeg har noget at tilføje, sender jeg det der.