Feynman-Kac sætningen siger, at for en Ito-proces af formen $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ der er en målbar funktion $ g $ sådan at $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ med en passende randbetingelse $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Vi ved også, at $ g (t, x) $ har formen $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Dette betyder, at jeg kan prissætte en mulighed med udbetalingsfunktionen $ h (x) $ til $ T $ ved at løse differensligningen uden hensyntagen til den stokastiske proces.
Er der en intuitiv forklaring på, hvordan det er muligt at modellere Ito-procesens stokastiske opførsel ved hjælp af en differentialligning, selvom differentialligningen ikke har en stokastisk komponent?
Kommentarer
- I forventningen skal ‘ ikke placere $ h (X_T) $ i stedet for $ h (X_t) $ ?
Svar
Martingales + Markovian
Her er motivationen. Betingede forventninger er martingaler af tårneegenskaben med betingede forventninger (en nem øvelse at vise). Lad os antage, at $ r = 0 $, ved den risikoneutrale prissætning $ E ^ \ stjerne \ venstre [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ er prisen på ethvert derivat sikkerhed med $ X $ som det underliggende aktiv og udbetalingsfunktion $ h $ forudsat i det øjeblik, at den underliggende sikkerhed og derivatet i sig selv ikke betaler nogen mellemliggende pengestrømme. I en Markovian-indstilling skal det være tilfældet, at prisen på derivatet er en målbar funktion af den aktuelle aktivpris og kun løbetiden, siger en funktion $ g (t, x) $. Derefter ved Itos lemma $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Fordi $ g $ er en (forskudt) martingale, skal driftstiden være lig med nul . randbetingelse kommer fra ingen arbitrage, se dette ved at bemærke, hvad der er $ g (T, x) $ fra den definition, der blev givet først (husk målbarhed, når du tager betinget forventning).
Kommentarer
- Tak. Hvad er $ \ mathscr {F} _t $?
- Det er en sigma-algebra fra en filtrering. da.wikipedia.org/wiki/Filtration_(matematics)
- @ user25064 – det komplimenterer mit svar temmelig godt +1
- @Raphael – tænk bare på $ \ mathscr F_t $ som de tilgængelige oplysninger indtil tidspunkt $ t $. Den lodrette bjælke læser ” givet “, så når du skriver den forventning noget inden dette tidspunkt tager du ‘ slet ikke forventning, og det kan komme uden for samme måde som en konstant ville. Som $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Der er en relativt god forklaring på den betingede forventning i denne bog.
Svar
Feynman-Kac-sætningen giver primært mening i en prissammenhæng. Hvis du ved, at en eller anden funktion løser Feynman-Kac-ligningen, kan du repræsentere dens løsning som en forventning med hensyn til processen. ( overfør dette dokument )
På den anden side løser en prisfunktion FK-PDE. Så ofte ville man prøve at løse PDE for at få en lukket formelprisformel. ( giver dette dokument startende med side 22 )
Du bruger ikke Feynman-Kac til at simulere en stokastisk proces. På den anden side kan du bruge en stokastisk proces for at finde en løsning på FK-PDE ( se her )
Rediger 26.02.2014: Jeg fandt et dokument, der forsøger at forklare forbindelsen mellem overgangstætheden og FK-PD ( se her startende med side 5 )
Der er også en forbindelse mellem FK-formlen og Sturm-Liouville ligningerne, der kan bruges til nedbrydning af brune stier. ( se dette papir )
Kommentarer
- Tak for linkene! Dit indlæg forklarer flere applikationer og anvendelser til Feynman-Kac-sætningen. Min største interesse på dette tidspunkt er at forstå, hvorfor sætningen er sand, dvs. intuitionen bag sætningen.
- Jeg vil foreslå beviset her: da. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Læsning af bevis hjælper ofte med at forstå, hvordan en sætning opstår. Eller er du interesseret i en forklaring fra et Phyiscs synspunkt?
Svar
Som jeg tænker på det er, at PDE beskriver strømmen af en tidsafhængig sandsynlighedsfordeling. Den stokastiske proces beskriver individuelle realiseringer (tilfældige vandringer med en drift), men hvis du løb et stort antal af dem, ville du opbygge en distribution.
PDE siger, hvordan fordelingen ændres i tid (første periode) på grund af deterministisk drift (anden periode) og diffusion (den tredje periode, som er forbindelsen mellem “masser af tilfældige vandrere” og spredningen sandsynlighedsfordeling, der beskriver, hvor langt de “gennemsnitligt er kommet”. Normalt starter sandsynlighedsfordelingen som en delta-funktion på grund af den kendte starttilstand.
Kommentarer
- Jeg er lidt forvirret. Vi har PDE for prisfunktionen $ g (t, x) $ bortset fra drift og volatilitet er der ikke meget information, du kan hente fra FK-PDE med hensyn til fordelingen
Svar
Lad os nærme os dette svar i to trin.
Først, Jeg finder det ret intuitivt, at der for en given stokastisk PDE findes en deterministisk PDE, der udvikler densiteten til et senere tidspunkt. Denne ligning er den fremadrettede Kolmogorov- eller Fokker-Plank-ligning. Hvorfor er det intuitivt? Man kender også den fremtidige fordeling af en Brownian-bevægelse (pr. Definition). Hvorfor skulle denne ændring ske til et mere komplekst stokastisk udtryk? udlede en tidsomvendt version af det. Dette er Feynman-Kac-ligningen, og den formerer en fordeling baglæns i tiden.