Kommentarer
- Tiden er uendelig – dvs. det faldende objekt ' s hastighed er aldrig nøjagtigt så hurtig som terminalhastigheden. Hvis du vil vide, hvor lang tid det tager at komme til at sige 99% af terminalhastigheden, er det et bedre spørgsmål!
- @alephzero: Nå, i et mere realistisk scenario, hvor tætheden er højere nær jord, vil et objekt, der falder fra højt nok over til sidst nå sin " terminal " hastighed (et øjeblik, relativ til den aktuelle tæthed). Og så vil dens hastighed gå ned, når luften bliver tættere, og objektet faktisk når jorden med superterminal hastighed.
- Hvis et objekt har varierende træk (for eksempel er en skydiver, eller ikke en kugle og tumler), vil dens terminalhastighed være forskellig alt efter dens orientering. I dette scenarie kan det overstige dets terminalhastighed på nogle tidspunkter.
- @Ben: Selv for en sfære vil træk ikke være konstant, fordi Cd typisk varierer med Reynolds-nummeret, hvilket konstant falder indtil terminalen hastighed er nået.
Svar
Et faldende objekt når ikke terminalhastigheden; den nærmer sig terminalhastighed asymptotisk i henhold til formlen $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Her er $ m $ objektets masse, $ g $ er accelerationen på grund af tyngdekraften, $ \ rho $ er densiteten af væsken, gennem hvilken objektet er faldende, $ A $ er det projicerede område af objektet, og $ C_d $ er trækkoefficienten .
Så $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ er terminalhastigheden og $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ er tidsskalaen på hvor terminalhastigheden nærmes i henhold til $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ Ved $ t = \ tau $ objektet har 76% af terminalhastigheden. Ved $ t = 2 \ tau $ er objektet på 96% af terminalhastigheden. Ved $ t = 3 \ tau $ er den på 99,5% af terminalhastigheden.
Kommentarer
- Bemærk, at $ \ tanh x \ ca. 1 – 2 e ^ {- 2x} $ for store $ x $, så forskellen mellem $ v $ og terminalhastighed falder omtrent eksponentielt med tiden. Dette kan være en nyttig tommelfingerregel; hvis $ v $ er 1% under $ v_t $ på et eller andet tidspunkt og 0,5% under $ v_t $ 10 sekunder senere, vil $ v $ være 0,25% under $ v_t $ 10 sekunder efter det.