Jeg ved, at ved Heisenbergs Usikkerhedsprincip, at det ikke er muligt at kende de nøjagtige værdier for en partikels position og momentum samtidigt, men kan vi vide de nøjagtige værdier af momentum og hastighed af en partikel samtidigt? Jeg ville tro, at svaret ville være nej, for selvom vi var 100% sikre på partikelens position, ville vi være helt usikre på partikelens momentum og dermed gøre os også helt usikker på partikelhastigheden. Har nogen noget indblik i dette?
Svar
Det er ret almindeligt at diskutere de to ekstremer i usikkerhedsprincippet, sinusformet og delta-funktion. Den ene har en perfekt defineret bølgelængde, men ingen position, den anden har en perfekt defineret position, men ingen bølgelængde.
Imidlertid er ingen af disse figurer frygtelig fysiske for en partikels positions bølgefunktion. En ægte sinusformet bølgefunktion ville strække sig gennem hele rummet, hvilket er absurd af flere grunde (inklusive tilstedeværelsen af andet stof). En ægte delta-funktion ville sandsynligvis have ethvert momentum, hvilket sandsynligvis ville krænke bevarelsen af energi. Så disse to ekstreme grænser er matematisk interessant, men ikke fysisk relevant.
På baggrund af spørgsmålet “Sætter usikkerhedsprincippet noget på, at momentum og hastighed samtidig er veldefineret?”, er svaret nej.
Givet spørgsmålet “Forbyder usikkerhedsprincippet mig at måle en enkelt variabel med uendelig præcision?”, er svaret nej.
Givet spørgsmålet “Gør noget forbyder mig at måle med uendelig præcision? “, svaret er ja .
Så dit spørgsmål nævner” nøjagtige værdier “, hvilket er en meget interessant, tornet emne. (Er det nogensinde muligt at måle en nøjagtig værdi? Hvordan fortæller vi forskellen?) Er du virkelig nysgerrig efter “nøjagtige værdier”? Er du mere nysgerrig efter, hvor Heisenberg usikkerhedsprincippet gør og ikke gælder? Eller er du nysgerrig, om der er andre grænser for vores evne til at måle ud over usikkerhedsprincippet?
Kommentarer
- Jeg spurgte kun fordi det blev spurgt på en test, og jeg var nysgerrig efter at vide svaret, efter at jeg tog testen. Jeg ved, at Usikkerhedsprincippet beskæftiger sig med energi og tid, og så handler det også om position og momentum. Så jeg tænkte, at hvis vi hypotetisk målte position med nøjagtig sikkerhed, ville vi være helt usikre på dens position, og dermed helt usikre på dens hastighed. Alt, hvad jeg ville vide, var om usikkerhed om position sikrer usikkerhed om hastighed
- Hvis vi ignorerer relativistiske effekter, så er hastighed og momentum direkte proportionale med hinanden med partiklen ‘ s hvilemasse som proportionalitetskonstant, så hvis du kender en nøjagtigt, får du den anden gratis.
Svar
Hvis i din teori er momentumoperatoren og hastighedsoperatoren proportional med hinanden, så ja. At kende den ene egenværdi betyder at kende den anden. Det er altid tilfældet med enhver funktion af en “kendt” operatør.
Kommentarer
- I ‘ m i grundlæggende fysik 3 i Georgia Tech tager det som valgfag, så jeg har ikke nået ‘ så langt. Jeg ‘ Jeg skal sørge for at undersøge det dog
Svar
Dirac-ligningens hastigheds egenværdier er $ \ pm c $. Dette er velkendt, da ligningen blev fundet; se Diracs bog, “Principperne for kvantemekanik, 4. udgave,”, Oxford University Press, Oxford 1958, kapitel XI “Relativistisk teori om elektronet”, afsnit 69, “Bevægelsen af et frit elektron”, side 262 … Det plejede at være et almindeligt undervist faktum i kvantemekanik, men jeg forstår nedstemningerne, det er nu muligt at få en ph.d. i fysik uden at vide det mindste om den følgende ganske elementære beregning. Dels da dette ikke læres meget mere, har afledningen for nylig været igen i litteraturen, se for eksempel: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral svingninger med hensyn til zitterbewegung-effekten / hep-th / 0701091 , omkring ligning (11).
Vi begynder med at bemærke, at hastighed er tidsraten for ændring af position, og at du kan definere tidsraten for ændring af position ved hjælp af kommutatoren:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Hvis ovenstående ser ud til at være magisk for dig, skal du læse wikipedia-posten på Ehrenfests sætning , der angiver princippet og giver den samme situation for ikke-relativistisk kvantemekanik: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ og så $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (for det ikke-relativistiske tilfælde) For den ikke-relativistiske elektronmodel er det således muligt at måle hastighed og momentum samtidigt; deres proportionalitetskonstant er massen. Men med relativitet proportionaliteten sker ikke så situationen er anderledes.
For at en tilstand skal være en egen tilstand af hastighed, kræves det:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definerede Hamilton-fri-partikel som $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. I moderne notation er $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ og $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, mens $ p $ er den sædvanlige momentumoperator.
Bemærk, at den eneste ting, der ikke pendler med $ \ hat {x} $, er x-komponenten af momentumoperatoren, som giver $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. Således ovenfor reducerer til:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Ved hjælp af wikipedias valg af gamma-matrixrepræsentation har vi: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Egenværdierne er opnået ved at løse karakteristisk polynom . Beregn matrixdeterminanten og sæt den til nul: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Jeg lader det være en øvelse for læseren at vise, at der er to virkelige rødder, $ \ pm c $ hver med rækkefølge to.
De fire løsninger på hastighedens egenværdiproblem for Dirac-ligningen svarer til den højre og venstrehåndede elektron og positron. Det vil sige, at hastighedens egenstater i Dirac-ligningen er nøjagtigt de venstre- og højrehåndede tilstande, der bruges til at repræsenterer fermioner i standardmodellen .
Kommentarer
- Der er to separate problemer, der muligvis forårsager downvotes (jeg har ikke ‘ ikke downvote endnu, vær venlig at rette). For det første er Dirac Hamiltonian i et diskrediteret enkeltpartikelbillede af Dirac-ligningen, hvor x er en operatør, der beskriver elektronens position. I det rigtige feltteoribillede har nær Fock-stater et momentum, der er p og en hastighed, der er p / E i en bølgepakke, og de to størrelser kan have samtidige værdier (slags, fordi partikler er ikke-lokale). Det andet problem er, at ligningen, du angiver for hastighedens egenværdier, har fire løsninger, (c, -c, ic, -ic).
- For så vidt angår problemet med felt teori versus QM går, elektronens hastighedens egenstat er relateret til zitterbewegung (zbw), der for nylig har fået en genopblussen på grund af fysikforskning i fast tilstand.Så jeg ‘ er ikke sikker på, at det ‘ er diskrediteret, se for eksempel diskussionen om zbw og hastighedens egenstater i Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Okay, jeg ‘ m fastsætter egenværdiberegningen; Jeg sprang determinanten.
- Jeg tror ikke ‘ det ‘ er fuldstændig miskrediteret, det har bare brug for en diskussion — zbw er en egenskab af positrontilstande blandet med elektrontilstande i enkeltpartikelbilledet, det er elektronen, der zigger frem og tilbage i tiden i Feynman-beskrivelsen. Det ‘ er fysisk, men kun i Feynman-formen af partikeldynamik, ikke så meget i feltteorien. Jeg er sikker på, at dette er grunden til, at mange mennesker automatisk nedstemmer diskussioner om enkeltpartikler af Dirac eqn. Jeg synes ikke ‘ det er vrøvl, det indeholder en masse fysik, men det kræver en grundig diskussion.
Svar
Argumentet om, at Heisenbergs usikkerhedsprincip forbyder, at vi kan kende de nøjagtige værdier af en partikels momentum og hastighed, er allerede diskrediteret i den gamle lærebog af Feynman på Quantum Elektrodynamik.
To observabler kan bestemmes samtidigt, hvis operatørerne pendler. For hastighed og momentum pendler operatørerne $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; de gør selv i Dirac-bølgefunktionsteorien med dens Zitterbewegung-effekter.