Er futures nøjagtigt Delta One?

Forward delta er 1 (defineret som ændring i terminsværdien i forhold til en øjeblikkelig ændring i prisen på det underliggende, idet alt andet holdes konstant).

Men for en meningsfuld diskussion af forskellene i termins- og futuresprissætning, skal forward-prisdeltaet for forwarders overvejes, og det er exp (r (Tt)). Selvom deltaet af de to er identiske, er værdien af en portefølje med en terminskontrakt kontra futures vil ændre sig over tid, og det er derfor: Forskellen skyldes, at renten ikke er konstant, men tilfældig og fremadrettet er OTC-produkter, der afregnes ved udløb, mens futures afvikles dagligt. Denne subtile forskel fører til forskellige pengestrømme, fordi penge, der deponeres på din konto, eller som du har brug for at hoste på grund af daglige marginafregninger, kan investeres / skal lånes til gældende renter.

For eksempel, hvis den underliggende diskonteringsproces og den underliggende aktivprisproces er korreleret positivt, så hvis aktivpriserne stiger omvendt, vil renten være lavere, og overskud, der dagligt deponeres på din konto, skal investeres til lavere priser. Det modsatte, når aktivpriserne falder, skal du deponere variationer og have brug for at låne til højere renter. Derfor skal futures-kontrakten være prissat lavere end forward i dette eksempel for at gøre futures-kontrakten lige så attraktiv.

Kommentarer

• Tak Matt. Men hvis vi glemmer den daglige margin for fremtiden for øjeblikket? … Kan vi udlede, hvordan delta ikke nøjagtigt = 1 fra formel: f = værdi af fremtidig kontrakt = S (t = 0) – K exp (-rT)? Jeg tager afledt af f, r kommer fra rentekurve er et tal / float for en given t (sikker over tid er det ‘ ikke en konstant, men vi aflæser et tal fra udbytte kurve). Jeg kan ‘ ikke se, hvorfor 1. afledte af andet udtryk med hensyn til S ikke er ‘ t nul nøjagtigt.
• Deltaet for en forward er ikke 1. Det ‘ s exp (r (Tt)) som en futures.
• Jeg er uenig. Kan du venligst gå igennem din afledning af fremad delta? Du er nødt til at nedsætte ændringen i værdi tilbage, hvorefter exp (r (T-t)) annulleres.
• @Matt Wolf. Da du er enig i, at terminsprisen er den nedsatte spotpris, bør det være klart, at deltaet ikke kan være 1. Finansieringsomkostningerne til at købe stedet ændres med den nedsatte spotpris. Deltaet er derfor diskonteringsfaktoren.
• Jeg redigerede mit svar for at gøre det mere præcist, når udøvere henviser til et forward delta som 1, og når de definerer det til at være exp (r (T-t)). Generelt betragtes dog forward-delta på 1, fordi de fleste erhvervsdrivende beskæftiger sig med ændringer i værdiansættelsen og med at oprette præcise afdækninger og ikke, hvordan terminspriserne ændres i fremtiden (forskellen mellem pris og værdi på en terminkontrakt er vigtig).

Jeg tror, der er forvirring omkring terminkursen og værdien af en terminkontrakt. En terminkontrakt forpligter til udveksling af et aktiv på et fremtidigt tidspunkt $ T $. Som konvention har denne terminkontrakt startværdien nul (på tidspunktet $ 0 $).Terminkontrakten, der i fremtiden er en udveksling af et aktiv til et fast beløb i dollar, har på $ $ \ i [0, T] $ en værdi på $ f (t, T) = S_t-Ke ^ {- r (Tt)} $. Denne kontrakt har klart delta lig med en.

Overvej nu problemet med den “korrekte” pris $ K $ på tidspunktet nul. Efter konvention er $ f (0, T) = 0 $. Brug af ligningen $ S_t-Ke ^ {- r (T-t)} $ og løsning for K ved $ t = 0 $ giver $ K = S_0e ^ {rT} $.

$ K $ er ikke tidsafhængig: den er fastlagt på tidspunktet nul. Dog kan $ t $ på et tidspunkt $ anden $ indgå med en løbetid $ T $. Det samme argument som ovenfor giver prisen på $ K $ på det tidspunkt $ t $ af $ S_t e ^ {r (T-t)} $. For eksplicit at vise denne afhængighed af $ K $ på $ t $ vil jeg nu lade $ F (t, T) $ angive værdien af $ K $ for en terminkontrakt med udløb $ T $ initieret på tidspunktet $ t $. Da $ F (t, T) = S_t e ^ {r (T-t)} $ er “deltaet” på $ F (t, T) $ $ e ^ {r (T-t)} $.

Det er vigtigt at bemærke, at $ F (t, T) $ ikke er et aktiv: når alt kommer til alt er den tilbagediskonterede værdi af $ F (t, T) $ tydeligvis ikke en martingale under risiko- neutral foranstaltning. Det er mere naturligt at tage delta i terminkontrakten, som er et aktiv.

På det tidspunkt $ t $ er prisen på en futureskontrakt med løbetid $ T $

$ F (t, T) = S (t) e ^ {r (Tt)}, $

hvor $ S (t) $ er spotprisen på tidspunktet $ t $ og $ r $ er rentesatsen. Deltagerne i futureskontrakten er derfor

$ \ frac {\ partial F} {\ partial S} = e ^ {r (T-t)}. $

For $ r > 0 $ har vi derfor $ \ partial F / \ partial S > 1 $ for $ t < T $.

Kommentarer

• F (t, T) = S ( t) er (T − t) er, hvordan du beregner ” fair ” fremtidig / nedadgående pris. Men når du først har indgået en kontrakt, bliver fremtidig / fremadrettet pris konstant K. Både K og r er ikke funktion af S. Hvis du tager første afledte af f = [Værdi af fremtidig kontrakt] = forskel mellem Spot og PV (K) = S (t = 0) – K exp (-rT) … første sigt = 1.0 nøjagtigt, og det andet sigt skal gå til nul (Som K / r / T alle konstante med hensyn til S)
• Jeg ved ikke ‘ hvad du mener med ” prisen bliver konstant “. Det er klart, at prisen på den futures-kontrakt, du ejer, er den aktuelle fair pris på futures-kontrakten (i et effektivt marked).
• Tak RPG, men det gjorde jeg ikke ‘ sige ” Prisen bliver konstant “. Jeg sagde, at K (fremad / fremtidig pris) for en bestemt fremtidig kontrakt, du tog stilling, er et konstant antal. Når du har indgået en kontrakt, kan du ‘ t ændre K.
• Men RPG tak for din indsats!
• Prisen på en futures kontrakt stammer fra $ t $ er $ S_t – F (t, T) e ^ {- r (Tt)} $. ” fremtidig pris ” er $ F (t, T) = S_t e ^ {r (Tt)} $, så kontrakten ved oprindelsen har nul værdi. Delta i en futureskontrakt er således 1.

For Forward-kontrakt , jeg er enig med @Matt i, at dens delta er nøjagtigt et .

Dette kan ses ved det sædvanlige no-arbitrage-argument, hvor lang 1 Forward-kontrakt, kort 1 underliggende, og invester shortsalgsproceduren på kontantkonto på tidspunktet 0. Derefter ved Forward-løbetid T vil alt være afgjort med nul P & L. (dvs. brug kontantkonto ved T til at udbetale fremadgående betaling F, blive underliggende og bruge den til at lukke shortsell-position.)

Som i hele denne selvfinansieringsafdækningsporteføljes levetid har jeg kun shortsell 1 underliggende, derfor er hæk nøjagtigt delta en til enhver tid.

For Futures-kontrakt dog er afdækningen ikke ligefrem delta en, men exp {r (Tt)}

For en lang position i Futures-kontrakt er de midlertidige pengestrømme fra markeret -to-market vil gå ind på kontantkontoen. Denne del vokser med risikofri rente (forudsat at den ikke er tilfældig). Derfor er der ingen sikring, der skal overvejes for disse pengestrømme, da det ikke er et stokastisk udtryk. (selvom det påvirker futuresprisen, som @Matt påpegede på grund af sammenhæng mellem rente og underliggende, men det er et andet spørgsmål.)

Det eneste stokastiske udtryk i lang futuresposition er ændringen af futures pris (man kan vise, at dF = sigma F dB). Det er velkendt, at F = S * exp {r (T-t)}. For hver 1 enhedsændring af S ændres futures-prisen med udløb (T-t)}, og det bidrager til ændringen i værdi af futures-positionen.

Således er deltaet i Futures-kontrakten exp {r (Tt)}

Fordi deltaet er tidsafhængigt, er hedge vil være dynamisk og kræve hyppig justering til afdækningsposition sammenlignet med en statisk hæk af fremadgående position (altid delta en).

Jeg har endnu et bevis fra min professor, men jeg tror, jeg kan kun dele det privat. 🙂

Ser man på posten – det ser ud til, at det er definitionen af selve deltaet, ikke detaljerne i formlerne , det er anderledes

Jeg troede, at deltaet var forholdet mellem ændring i derivatets værdi og ændringen i samme (enhed) mængde underlier

Indlægget ser ud til at sige, at deltaet er forholdet mellem ændring af derivatet og ændringen i ækvivalent mængden af underlier

Kommentarer

• Forvirringen, fordi @RPG forkert forvekslede pris og kontrakt. Terminskurs er ikke et derivat, men terminkontrakt er.