Find h [n] ved hjælp af DTFT-egenskaber

Mens dette er ved dit optagelseshjemmearbejde (og ret grundlæggende), jeg bider. Husk definitionen af DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Og husk definitionen af frekvensresponset $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

hvor $ x [n ] $ er input til systemet, og $ y [n] $ er dets output. Kombiner disse to ligninger:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Udfør nu den inverse DTFT på begge sider af ligningen. Per definition er $ X (\ omega) $ og $ x [n] $ et transform-par; ligeledes for $ Y (\ omega) $ og $ y [n] $. For de to andre termer skal du huske tidsforskydende egenskab for DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

som let kan vises fra definitionen af DFT. Ved hjælp af denne egenskab transformerer ligningen invers til forskel ligning specifikationen for systemet:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Dette er definitionen af et rekursivt filter, der er normalt IIR; det er tilfældet for denne. Det er let at finde impulsresponsen; lad $ x [n] = \ delta [n] $ og find ud af, at systemudgangen er:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Ovenstående er tegnet for $ a = 0,99 $. Det skal bemærkes, at systemet kun er stabilt for $ | a | \ le1 $.

Kommentarer

• I ' har forsøgt at beregne impulsresponsen, men blev sammenfiltret. Kan du vise, hvordan det ' klarer sig? tak.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Da impulssvaret strækker sig til $ \ infty $, er dette et IIR-filter. JasonR siger i sit svar, at filteret er stabilt kun hvis $ | a | < 1 $. Faktisk er filteret stabilt, når $ | a | \ leq 1 $, og er kun ustabil for $ | a | > 1 $. Når $ | a | = 1 $, fra den geometriske serieformel $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, får vi den $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ er overførselsfunktionen af et (stabilt) FIR filter, der kan beskrives som en kortvarig integrator eller kortvarig gennemsnit (med gevinst $ 4 $).

Kommentarer

• Dejlig alternativ afledning. Jeg fastlagde også min påstand om stabilitet i mit svar.