Flisebelægning af en sekskant med diamanter

Jeg tror, jeg har fundet et rigtig let bevis.

Hver flise med lodrette sider skal have to andre fliser med lodrette sider ved siden af , eller den lodrette grænse for sekskanten. For en given flise med lodrette sider giver følgende tilstødende fliser en specifik sti til begge lodrette sider af sekskanten.

Dette betyder, at hver flise med lodrette sider ligger på en sti, der starter i venstre side af sekskanten og ender til højre og består kun af fliser med lodrette sider. Ingen af disse stier kan krydse hinanden, da det vil skabe to forskellige stier fra en enkelt flise med lodrette sider til venstre side af sekskanten, hvilket ikke kan eksistere i henhold til første afsnit.

Da ingen af stierne kryds, hver sti mellem venstre og højre side af sekskanten skal starte og slutte i samme højde. Derfor skal hver sti indeholde et lige antal af hver af de to forskelligt orienterede fliser med lodrette sider. Da hver flise med lodrette sider ligger på en sådan sti, skal det samlede antal af disse to forskelligt orienterede fliser være ens.

Gentag dette symmetrisk for to andre retninger for at finde ud af, at antallet af fliser i hver retning skal være lige.

Kommentarer

• Meget flot bevis. Jeg tror, det kunne gøres endnu lettere ved den enkle observation, at a + b = b + c = c + a svarer til a = b = c. Så kan du slippe hele krydset og op og ned ting. I stedet skal du bare tælle lodrette streger. Efter dit argument skal de have det samme nummer i hver ” kolonne ” og grænsen. Du kan kortlægge 1 til 1 alle lodrette streger undtagen venstre grænse, for eksempel til alle fliser, der har lodrette sider (dvs. to slags, som i a + b ovenfor) ved at knytte hver sådan flise til dens højre lodrette kant.
• Ah, du ‘ har ret. Når du først ved, at der er lige mange streger i hver retning, følger resultatet let.

Jeg vil sende et svar, der er mere intuitivt end matematisk .
Dette billede repræsenterer det perfekt:

Hvid, grå og sort bruges til at fremhæve diamanterne med samme retning. Det rigtige billede viser et underligt solidt, jeg tror alle kan se det.
Nå, det er intuitivt at se, at det sorte område for enhver konfiguration er ækvivalent (hvidt og gråt også): det ligner ekstrudering af dele af dit gulv (aka bygning af trapper!), det område, du kan gå på, ændrer sig ikke!

Kommentarer

• Din form holder flipflopping i mit hoved. Et øjeblik er sort ” op “, det næste er det ” ned “. Men jeg kan godt lide dette bevis.
• @Floris Min hensigt er faktisk at løse dette problem som et puslespil (vi ‘ er i Puzzling, eheh!), og ikke som en ren matematisk opgave.
• Du ‘ antager, at enhver løsning ” ligner ” en terning af terninger. Hvordan ved du, at det er sandt? Faktisk antages det, at enhver løsning ser ud som en stak terninger. meget forudsat at ting du ‘ bliver bedt om at bevise.
• @Floris: Ow, det tog mig et stykke tid at se det vendes, og når jeg gør det, skal jeg kæmpe til ” hold ” den fortolkning, og det gør ondt i mit hoved. Jeg formoder, at jeg spillede for meget Q * bert i min ungdom.
• @ leoll2 Det ‘ er dit job at overbevise os om, at det ikke kan ‘ ikke være noget andet. Hvordan kan jeg være sikker på, at der ikke er ‘ t underlig flisebelægning, der ikke ‘ ikke ligner en stak terninger?

Her “er et 3D-inspireret bevis.

Tag en hvilken som helst flisebelagt sekskant og se på dens lodrette linjer.

Vær først opmærksom på, at på grund af flisenes form skal alle lodrette linjer have samme længde som venstre og højre side af sekskanten, muligvis med mellemrum imellem.

Så hvis ingen af dem har huller, og alle ender i bunden, skal hele fliserne se sådan ud (“fuldstændig fyldt terning”):

Vi viser, at det er muligt at omdanne enhver anden flisebelægning til en” fuldstændig udfyldt terning “uden at ændre antallet af fliser i hver retning.

Vælg først et fragment af en lodret linje, der ikke ender i bunden. Det skal slutte ved en vandret flise i stedet, da de to andre fliser begge har lodrette sider. Forhåbentlig ser situationen sådan ud (“hjørne”):

Men måske er der en eller to yderligere linjer med oprindelse på samme sted som dette:

Hvis det er tilfældet, skal du følge en af dem. Det skal tilhøre en anden vandret flise ved siden af den aktuelle. (Du kan se dette fra billedet.) Så efter at du har fulgt linjen, er du i samme situation igen, men tættere på en af siderne af sekskanten (hvilket garanterer afslutning, da der bestemt er en lodret linje i den retning du kom lige fra). Fortsæt i samme retning, indtil du når et “hjørne”.

Nu hvor du har nået et “hjørne”, “udfyld det”:

Antallet af fliser i hver retning er åbenbart det samme. Imidlertid er et lodret linjefragment lige flyttet nedad.

Gentag denne algoritme, indtil alle lodrette linjer slutter i bunden, og alle huller fjernes, hvilket resulterer i den “fuldstændigt fyldte terning” (se ovenfor).

Kommentarer

• Cool! Det beviser også, at enhver flisebelægning kan omdannes til en hvilken som helst anden ved hjælp af en sekvens af ” hjørnefyldninger ” eller små sekskantrotationer
• Ja, og på en måde viser det, at 3D-fortolkningen altid fungerer. Men jeg tror, det kunne bevises meget mere direkte, som i ” tage en hvilken som helst flisebelægning og opbygge en tilsvarende 3D-struktur som følger … ”
• godt 🙂 dybest set 3d rotation. Jeg gjorde den anden. Har du nogensinde mødt dette puslespil?

Interessant nok, når du ser på billedet som en 3d-graf, kan du se at hvert “ansigt” har det samme antal fliser. Så hvis du kiggede på det fra venstre, ville du se 25 firkanter. Top, 25 firkanter. Højre, 25 firkanter. Og hver af de 3 retninger svarer til et af ansigterne.

Kommentarer

• Jeg har lyst til, at dette argument er overbevisende, men kun for den særlige flisebelægning, du ser på. Hvordan kan du være sikker på, at den optiske illusion vil ske for enhver mulig flisebelægning?
• Dette svar ser ud til at være en måde at visualisere svaret på … det viser intet. Det er dog muligt at bevise det på denne måde.
• Jeg er helt enig. Jeg ” kender ” svaret, men at forklare det er uden for mig denne fredag.

Endnu en anden; denne er trekantbaseret og kan være mere et standard bevis.

Del hele sekskanten i trekanter og tildel tal til de lodrette linjer som dette (eller lignende):

Nu for enhver trekantbaseret form (whi ch behøver ikke nødvendigvis at være en flisebelægning) definer sin “grad” som det antal, der opnås ved at tilføje alle de numre, der er tildelt den venstre grænse og trække alle de numre, der er tildelt den højre grænse. For eksempel har figuren

en “grad” på $ (1-2) – (2 + 2-1-2) = – 2 $.

Bygg nu en flisebelægning stykke for stykke, og overvej “graden” af den resulterende form. Tilføjelse af en vandret flise ændrer ikke graden, ved at tilføje en af de andre øges eller formindskes den med henholdsvis 1:

Da hele sekskanten har en grad på 0, skal antallet af de to viste fliser være ens. Gentag symmetrisk i en anden retning.

Kommentarer

• Du kan dele sekskanten i et vilkårligt antal former, så summen af grader af disse figurer er 0.Teknisk svarer dette ikke, fordi du stadig skal bevise, at du kan bygge flisebelægningen (for eksempel ved ekstrudering, du har bare bevist, at hvis der findes en flisebelægning, skal den have grad 0) Men dette svar sørger sikkert for et manglende stykke til beviset så +1
• Som jeg forstår spørgsmålet, er det ikke nødvendigt at bevise, at der altid findes en flisebelægning. Men det gør det selvfølgelig. 🙂 (Se mit første svar.)
• og for at se, at du kan bygge alle mulige fliser, skal du have mit svar 🙂
• Åh, nu forstår jeg, hvad du siger. Ved ” build ” mener jeg noget andet: Start med en flise; det er din første form. Tilføj derefter den ene flise efter den anden, indtil du når den flisebelægning, du oprindeligt havde.
• Nej, for mig starter fra en gyldig tilstand (skal bare give en, at ‘ s trivielle) anvend derefter en form for transformation, der efterlader dig i en anden gyldig tilstand. Byg som du siger er sværere, fordi du har brug for en slags ” forkøb ” som er mulig, men kræver søgning, mens du er i mit indlæg Jeg bruger ikke ‘ nogen søgning, bare forudfastsat ” overgange ” der gør ræsonnement meget let ..

Lad os se på det trekantede gitter efter søjle.

Hver kolonne i venstre halvdel har en mere venstre-pegede trekant end højre-pegede trekanter. I højre halvdel er der et overskud af en højre-pegende trekant.

Diagonale pastiller bidrager til nøjagtigt en venstre-pegende og en højre-pegende trekant i en kolonne. Lad os ignorere disse. Du er tilbage med venstre med trekanterne, der er en del af en vandret pastill. En vandret pastill er lavet af en venstrepeget trekant i en kolonne (rød) og en matchende højrepegende trekant i kolonnen til højre (grøn).

De trekanter, vi ignorerer, består af par af venstre og højre-pegede trekanter i en kolonne. Så i hver kolonne skal der stadig være et overskud på en rød trekant i venstre halvdel og et overskud af en grøn trekant i højre halvdel.

I den første kolonne skal der være en rød trekant, fordi der er et overskud af en, og der kan ikke være nogen grøn trekant. Den trekant matches af en grøn trekant i 2. kolonne. I kolonne 2 er der en grøn trekant, så der skal være endnu en rød trekant. Det er 2. Disse 2 røde trekanter har matchende grønne trekanter i 3. søjle osv.

Som du ser, er der endnu en rød trekant i hver efterfølgende søjle op til midterlinjen. Den sidste kolonne før midterlinjen har 5 røde trekanter. Der er 5 matchende grønne trekanter til højre for midterlinjen. Men stadig har vi nu et overskud på 1 grøn trekant, antallet af røde trekanter falder til 4. Derefter falder antallet med hver søjle. Resultatet er, at uanset hvordan pastillerne placeres, danner de røde trekanter i kolonnerne sekvensen 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0, som beløber sig til 25.

Det betyder, at der altid vil være 25 røde trekanter. Og disse er halvdele af de vandrette pastiller, så der vil altid være 25 vandrette pastiller.

Ved rotationssymetri gælder det samme for venstre diagonale og højre diagonale pastiller. Det betyder, at uanset hvordan de placeres, vil der altid være 25 af hver af de tre typer pastiller.

QED

Fra trekantet flisebelægning med en “terninggrænse”, vi kan se, at:

• der er lige mange linjesegmenter ved $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• hver rombe dækker nøjagtigt en type linjesegment

Kommentarer

• Er ikke ‘ t der bare gentager, hvad leoll2 sagde, at når ” ekstrudering af dele af din etage ” at ” det område, hvor du kan gå, ikke ‘ t ændring “.
• At ‘ er faktisk et meget bedre bevis end mine svar. ‘ er interessant, at du bare ignorerer alle de linjer, der er synlige, og i stedet fokuserer på de usynlige.

Hvis vi tildeler $ S $ til at være sidelængden af sekskanten (i antal diamantsidelængder) og $ A $, $ B $, $ C $ til være antallet af diamanter af hver type, hvor $ A $ er længere end høj, $ B $ peger nederst til højre / øverst til venstre og $ C $ peger til nederst til venstre / øverst til højre.

det samlede antal diamanter (aka areal) lader os lave denne ligning:

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

Forestil dig $ S = 1 $ sekskant … Der er kun 2 løsninger, der er den samme, der roteres 30 grader. Der skal være alle tre diamanter til stede for at den centrale del skal tilføje op til 360 grader.

Vi kan forestille os, at der er 3 stier, der fortsætter fra top til bund, øverst til højre til nedre venstre, og øverste venstre til nederste højre hjørne. Den samlede bevægelse ned for enhver sti, du følger (top til bund) skal være lig med $ 2S $, men bevægelsen fra venstre mod højre skal være nul. Hvis du bevæger dig hele vejen ned på en $ A $ diamant, bevæger du dig ikke til højre eller venstre. Hvis du bevæger dig ned på en $ B $ eller $ C $ diamant, bevæger du dig henholdsvis til højre eller venstre. For at alle stier ikke kan bevæge sig til venstre eller højre, skal det samlede antal $ B $ og $ C $ være ens. Hvis du roterer grafen 60 grader, så et andet par hjørner peger op / ned, kan du vise dette for $ A $ og $ B $ eller $ A $ og $ C $.

Kommentarer

• Kan du uddybe lidt mere om, hvor disse 3 stier kommer fra? Er der flere mulige stier (fra top til bund) eller unikke i betragtning af fliserne? Er disse som en bonde, der hopper fra diamant til tilstødende diamant eller en myre, der følger kanterne?
• Det er vektortilskud … det refererer til alle stier, der fortsætter fra hjørnet til det modsatte uden ryg sporing. Det følger efter kanter.
• For at præcisere, er der ingen sti, der ikke følger B = C, så tilføj dem alle sammen og B = C

Ikke sikker på, at dette er et fuldt svar, men jeg bliver træt.

Lad n = antallet af trekanter til en side. Tag diamanterne, der berører EDIT: n + 1 tilstødende kanteenheder (bare ved 1 punkt tæller ikke): Mindst en diamant skal være forskellig fra de andre. Lad alle ændringer ske i hjørnerne, med en ændring i hvert andet hjørne.Vi har lavet en sløjfe, der kan indeholde en sekskant med sidelængde n-1, og antallet af diamanter af hver art er lig. Induktion ned til n = 1, hvor det tydeligvis er ens.

Lad nu en sekskantet ydre løkke afvige fra vores politik “ændringer forekommer kun i hjørner”. Farv alle de ydre kant-tilstødende diamanter en bestemt farve (f.eks. Sort), og lad eventuelle diamanter, der stikker ud fra denne sløjfe, være hvide. Nu kan vi se en brudt sløjfe, der omgiver en anden (bestemt brudt) sløjfe af n-1. Farv denne indre sløjfe med en anden farve, og lad alle oprørere igen være hvide. Gør dette ned til n = 1 sekskanten, og farv oprørerne efter orientering.

Hvis du ser på mit diagram, vil den indre lilla sekskant virkelig have en rød flise i bunden i stedet for en orange og en lyserød . Forestil dig, at dette er en mosaik. Riv en rød flise op, og de orange og lyserøde oprørere i midten og læg den røde flise der. Den lilla hex er glad nu. Gør nu den grønne sekskant glad (en ændring kun i hvert andet hjørne) – Den nederste sidelæns diamant ønsker at være to skrå diamanter, der passer til den lilla sekskant – tilføj vores orange og lyserøde fliser til siden og læg den grønne flise uanset hvor vi frarøvede den røde flise fra tidligere. Jeg synes, det er klart, at denne proces kan fortsættes, indtil vi når vores “optimale sekskant”. Min hjerne er dog for stegt til at bevise dette definitivt.

REDIGERING: Jeg tror, at disse to ting er sande: 1. Hvis vi tager en ikke-optimal sekskant, vil hver koncentrisk sløjfe være utilfreds 2. Fastsættelse af en ulykkelig sløjfe tilføjer nødvendigvis fliser til vores “hånd” af fjernede mosaikfliser 3. For at rette den inderste sekskant skal du rane enhver passende oprør.

Med disse to ting i tankerne er det umuligt, at vi vil rette en hex, men ikke vil have fliser i vores “hånd” af fjernede fliser, forudsat at der er mindst en oprør af den slags, der kræves af n = 1-sløjfen.

Der er ikke behov for lange bevis. Tænk 3D.

Forestil dig, at nogle terninger er fastgjort i et hjørne af et rum. De tre retninger er ansigterne, som vi ser, da vi fra alle sider skal se det samme antal ansigter.

Kommentarer

• der er også et bevis fra nummerering. Sæt to 0er i et hjørne, og konstruer antallet således, at de 3 retninger altid tilføjes til -1,0 og 1. Ved at tilføje række for række vil den samlede sum være 0 Derfor X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0, hvilket betyder X = Z. Drej nu nummereringen 120degress Med lignende argument X = Y Dette kompletterer beviset
• Desværre er dette stort set det samme som svaret, der allerede er givet af leoll2, og som blev bevist i Sebastian Reichelt-svaret. Beviset, du nævner i din kommentar, blev allerede sendt i Sebastian Reichelt andet svar.

I rækkefølge for at bevise dette princip gennem Pascal-programmering til at generere forskellige diamantlayouts gennem forskellige farver, vil du opdage, at dette 2D-brolægningsproblem er blevet et 3D-modelgenereringsproblem, og disse modeller ligner meget byplanlægning eller arkitektur. En prøveberegning af layoutet af tårnet og podiet. Et andet træk er, at den genererede tredimensionelle model ikke har en stor øvre del og en lille nedre del og er et stabilt rektangulært parallelepiped layout. En ” opgradering af ” fra et todimensionelt problem til et tredimens layout. ion

Kommentarer

• Hvordan beviser dette påstanden i spørgsmålet?