Fra flere onlinekilder læste jeg, at $$ E \ propto A ^ 2 $$, men da jeg nævnte dette i klassen, fortalte min lærer mig, at jeg tog fejl og at det i stedet var direkte proportionalt med amplitude.
Så vidt jeg ved, sagde ethvert websted, jeg snublede over vedrørende dette, at det er tilfældet. Min lærer har en ph.d. og virker ret erfaren, så jeg kan ikke se, hvorfor han laver en fejl, er der tilfælde, hvor $ E \ propto A $?
Jeg så også denne afledning:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
placeret her , har nogen noget imod at forklare det lidt mere detaljeret? Jeg har en grundlæggende forståelse af, hvad en integral er, men jeg er ikke sikker på, hvad plakaten i link sagde. Jeg ved, at der er en ret god forklaring her , men det virker alt for avanceret for mig (gav op, når jeg så delvise derivater, men jeg ser, at de “er stort set det samme senere). Den første, jeg linkede, virker som noget, jeg kunne forstå.
Kommentarer
- Du stiller de rigtige spørgsmål og tænker den rigtige måde. Glem ph.d.en og bed i stedet din lærer om at forklare i detaljer hvorfor han mener $ E \ propto A $. Galileo havde noget passende at sige her: " … tusind autoritet er ikke det ydmyge resonnement for et enkelt individ værd " Energier i lineære systemer er kvadratiske funktioner af generaliserede koordinater, som i Kyle ' s svar .
Svar
Plakaten fra dette link siger, at arbejdet udført af foråret (det er “s Hookes lov der: $ F = -kx $) er lig med den potentielle energi (PE) ved maksimal forskydning, $ A $; denne PE kommer fra den kinetiske energi (KE) og er lig med integrationen af Hookes lov over området 0 (minimum forskydning) til $ A $ (maksimal forskydning).
Alligevel, din professor tager fejl. Den samlede energi i en bølge kommer fra summen af ændringerne i potentiel energi, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ og i kinetisk energi, $$ \ Delta K = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) v ^ 2 \ tag {KE} $$ hvor $ \ Delta m $ er ændringen i masse. Hvis vi antage, at densitet af bølgen er ensartet, så $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $ hvor $ \ mu $ er den lineære densitet. Således er den samlede energi $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ Som $ y = A \ sin \ left (kx- \ omega t \ right) $ og $ v = A \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, så er energien proportional med kvadratet af amplituden: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
Kommentarer
- Dette er sandsynligvis let tilgængeligt et eller andet sted på wikipedia eller noget, men kan jeg spørge, hvor du går hen til PE ligning, du har angivet?
- @ D.W .: Beklager det meget sene svar, du kan se det på dette Hyperfysikwebsted . Du kan bruge det faktum, at $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ og ændringen i $ U $ ville være forbundet med en masseændring i bølgen, $ \ Delta m \ sim \ mu \ Delta x $ (med $ \ mu $ den lineære tæthed).