Jeg arbejdede bare på et specielt spørgsmål, men jeg ignorerede effekten af temperatur på det, og nu bliver det meget vigtigt for mig.
Hvad er forholdet mellem tryk og temperatur?
Antag, at vi har en ballon eller noget, som vi kan fylde den med luft {lufttryk er 1 atm}, hvis vi øger temperaturen, hvad sker der med trykket? Er der en formel til måling af den?
For at besvare dette spørgsmål skal du overveje ballonens elasticitet.
Kommentarer
- Har du hørt om idealgasloven ?
- Bemærk også, at trykket i disse forhold er absolut tryk, ikke måler. For eksempel, hvis det absolutte tryk inde i en ballon i dit hus er 1 atm, er ballonen ikke oppustet. Hvis målertrykket er 1 atm, vil det absolutte være 2 atm.
- selvfølgelig hørte jeg det, men er ikke ‘ t det anderledes for gummi & elastikker ????
- Jeg kunne ikke ‘ ikke udlede dette formelt (og dermed kontrollere korrekt), hvorfor jeg skriv dette som en kommentar snarere end som et svar. Young-Laplace giver $ p = 2 \ gamma / r $ (forudsat at ballonen er stram) og den ideelle lov $ pV = NkT $. At tage $ \ gamma \ propto A $ og kombinere ligningerne har vi $ p \ propto T ^ {1/4} $.
- Jeg kunne ikke ‘ t forstå, kan du fortælle mig den rigtige formel ???
Svar
Et velkendt resultat fra statistisk mekanik er den ideelle gaslov,
\ begin {ligning} PV = nRT \ end {ligning}
som kommer i en række forskellige former. Her angiver $ n $ mængden af gas, $ R $ er en konstant, $ T $ er temperaturen, $ V $ lydstyrken og $ P $ trykket.
Hvis du øger temperaturen, enten volumen, tryk eller begge skal stige proportionalt. Hvis ballonen ikke kan udvides, kan lydstyrken ikke øges; således vil trykket stige (med $ \ frac {nR} {V} $ pr. grad). Hvis der er en vis grad af elasticitet, kan lydstyrken stige noget; dog ikke at følge den ideelle gaslov. Som astronom har jeg ikke arbejdet meget med elasticiteter, så en anvendt fysiker kan sandsynligvis hjælpe dig videre.
Svar
En idealgas er en teoretisk gas sammensat af mange tilfældigt bevægelige punktpartikler, der ikke interagerer, undtagen når de kolliderer elastisk. Det hele afhænger af din sag. Jeg mener, hvis trykket og temperaturen er lav, kan du bruge Ideal Gas-loven til at beregne forholdet mellem tryk og temperatur.
hvor:
er gasens tryk
er gasens volumen
er mængden af stof af gas (også kendt som antal mol)
er den ideelle eller universelle gas konstant, lig med produktet af Boltzmann-konstanten og Avogadro-konstanten.
er gasens temperatur
Og vi know:
hvor:
er masse (gram)
er molær masse (gram pr. mol)
således,
Du skal kontrollere sagen, du står over for, og derefter beslutte at bruge denne eller ikke at bruge den. men noget virkelig vigtigt er, at den ideelle gaslov ikke svarer for elastiske tilfælde.
Svar
Sørg for at bruge T i Kelvins, og få de andre enheder kompatible med hinanden.
Du skal også slå “trykhøjde” og “temperaturhøjde” og “bortfaldshastighed” op for at se, om disse gælder for dit problem.
Når du øger højden, falder det begrænsede atmosfæriske tryk og temperaturen, så ballonen øges i størrelse sammenlignet med lavere højder.
Svar
Hurtig afledning
Young-Laplace-loven siger, at $$ p-p_0 = \ frac {2 \ gamma} {R} $$, mens tilstandsligningen for den ideelle gas går som $$ p = \ frac {Nk_BT} {V} $$ Løsning for $ R $ og forudsat at vi har at gøre med en sfærisk ballon ($ V = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $, $ A = 4 \ pi R ^ 2 $), og at elasticiteten er beskrevet af en hookisk kraft (med ligevægt ved nulstørrelse), $ \ gamma = \ alpha A $, $$ \ left (\ frac {Nk_BT} {\ frac {4} {3 } \ pi p} \ right) ^ {1/3} = R = \ frac {p-p_0} {8 \ pi \ alpha} $$
For at gøre algebra enklere antager jeg, at $ p_0 = 0 $, så vi har $ p \ propto T ^ {1/4} $.
Lidt strengere afledning
For enkelheds skyld vil jeg antage, at trykket udenfor er nul. Tilføjelse af ikke-nul tryk er dog trivielt, men gør ligningerne lidt grimere.
Antag at vi har en kugle fyldt med $ N $ molekyler af ideel gas, så delingsfunktionen kan skrives som $$ \ mathcal {Z} = \ iint \ mathrm {d} ^ {3N} p \ \ mathrm {d} ^ {3N} r \ \ e ^ {- \ beta (\ mathcal {H} + \ gamma A)} $$
Så vi har $$ \ mathcal {Z} = CV ^ N e ^ {- \ beta \ gamma A} $$
Nu minimeres den frie energi med hensyn til $ R $, $$ N \ frac {A} {V } = \ beta \ partial_R (\ gamma A) $$
Når vi tager gummien til at være hookean, $ \ gamma = \ alpha A $, har vi endelig størrelsen på ballonen: $$ R = \ venstre (\ frac {3N} {64 \ pi ^ 2 \ alpha \ beta} \ højre) ^ {1/4} $$
Nu er det let at beregne trykket, $$ p = – \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {F}} {\ partial V} \ right) _A = \ frac {N \ frac {A} {V}} {\ beta A} = \ frac {N} {\ beta V} $$ Ingen overraskelse her; dette er bare tilstandsligningen for den ideelle gas. Tilslutning af størrelsen ($ V \ leftarrow \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $), vi har $ p \ propto \ beta ^ {- 1/4} \ propto T ^ {1/4} $ .
Jeg skrev også en simpel Monte Carlo-simulering (som let kunne udvides til at dække mere generelle tilfælde, hvor gassen ikke er ideel, siger), og mine numeriske resultater stemmer overens med det, jeg udledte ovenfor.
Svar
Temperatur og tryk er direkte proportionale med hinanden. Dette betyder, at når temperaturen falder, falder trykket også, og når temperaturen stiger, øges trykket. En måde at tænke på dette er, hvis du øger hastigheden på molekylerne – ved at øge deres temperatur – styrken af molekylerne, der rammer deres beholder, stiger, og dette øger trykket. Dette forhold kaldes Gay-Lussacs Law og udgør en del af den ideelle gaslov.