Forvirring med hensyn til beregning af grundlæggende periode?

De trigonometriske funktioner er i det væsentlige eksponentielle. Således svarer en fordobling af argumentet til en kvadrat af funktionen (på en måde). I dette tilfælde kan det ses ved at anvende vinkeltilsætningsformlen:

$$ \ begin {align} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ ende {justeret} $$

Making

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Anvender det på din ligning:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Herfra er det ret klart, at den grundlæggende periode er 0,25, da det gør $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Efter anmodning:

$$ \ begin {aligned x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ venstre [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ højre] \\ \ ende {justeret} $$

Du skal kunne regne derfra. Bemærk, at den firkantede sag kunne have været behandlet på samme måde.

Jeg bruger denne teknik i vid udstrækning til disse formler:

• Nøjagtige nær øjeblikkelige frekvensformler bedst ved toppe (del 1)
• Præcis nær øjeblikkelig frekvensformler bedst ved toppe (del 2)
• Præcis nær øjeblikkelig frekvensformler bedst ved nulovergange

Kommentarer

• Venligst venligst opdater 2. sidste linje i dit svar. Det er en grundlæggende periode, der er 0,25 ikke en grundlæggende frekvens
• @Man Udført, god fangst. Undskyld det.
• Venligst lav en smule opdatering til dit svar for at imødekomme behovet for opdateret spørgsmål
• @Man Hold op med at flytte målstolperne. n = 3,4,5 … kan beregnes efter mønsteret. slutresultatet er $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ hvilket er det samme som $ T = 1 / (2n) $

Dette virker som et mere semantisk problem.

Et signal er periodisk med tiden $ T $ hvis

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ i \ mathbb {Z} $$

Så signalet er periodisk i $ 0,5 $ da for $ T = 0,5 \ cdot n $ argumentet for cosinus er et heltal multiplum af $ 2 \ pi $ . Da det er periodisk i $ 0,5 $ , er det også periodisk i alle heltalsmultipler af $ 0,5 $ , dvs. $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ osv.

I dette tilfælde er det også periodisk i $ 0,25 $ da $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Så ethvert periodisk signal har en uendeligt antal perioder, den grundlæggende er den mindste, og alle de andre er heltal multipla af det grundlæggende.

Hvis det hjælper noget, skal du generere en enhedsamplitude sinusbølge ved 1 Hz og dens firkant:

Derefter ser sinusbølgen og dens firkant sådan ud:

Du kan se DC-komponenten: den gennemsnitlige værdi af den firkantede sinusbølge (gennemsnit over et helt antal perioder) er 1/2. Og den røde sinusbølgefrekvens er nøjagtigt fordoblet, så perioden halveres. DC og fordoblet frekvens er “beatfrekvenser” opnået ved at multiplicere sinusbølgen med sig selv.

Kommentarer

• hvilken software bruger du?
• Jeg bruger et kommercielt simuleringsprogram med navnet Extend (ældre version) og ExtendSim (nyere versioner) fra Imagine That, Inc. Disse suppleres med fire biblioteker med blokke, som jeg begyndte at udvikle i 1990. Mine biblioteker, der hedder LightStone, er tilgængelige gratis med fuld kommenteret kildekode. URLen til mine biblioteker er umass.box.com/v/LightStone . Jeg opdaterer bibliotekerne i slutningen af ugen, så de arbejder med den nyeste ExtendSim 10.0.6-version (skal kun være en kompilering). Ovenstående model blev udført med Extend 6.0.8 på en gammel Mac (jeg kan godt lide den måde, den ser ud).
• Tak, jeg ' Jeg tjekker den ud: )