Her “er et sandsynlighedsspørgsmål (sandsynligvis virkelig simpelt) Jeg er ikke sikker på, hvordan man løser:
Gamma distribution $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ med $ \ mu = 20 $ og $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Det forrige spørgsmål var at finde værdierne på $ \ alpha $ og $ \ beta $, hvilket jeg gjorde ved hjælp af $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ og $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alpha $$ \ beta ^ 2 $.
For gamma-distribution cdf siger min lærebog $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ hvor $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ er standard gammafordeling cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
For at integrere det ser det ud til, at jeg har brug for kædereglen, men vores professor gjorde det aldrig et eksempel. Er der en genvejsmetode? Vi har aldrig brugt integration i et rigtigt eksempel, kun for at definere pdf og få cdf til forskellige distributioner.
Rediger
Eksemplerne i min lærebog, der involverer standard gamma-fordelingsproblemer, siger at slå værdierne for $ F (x; \ alpha) $ op i tabel A.4 i tillægget. Da jeg kiggede, manglede tabel A.4, hvilket virkelig skuffer mig. standard gammadistributionstabeller online, som jeg kan udskrive og aflevere med opgaven? Jeg tjekkede Wolfram Alpha, men de havde ikke en. Casio har noget , men jeg er ikke sikker på, hvad form og skalaparametre er.
Rediger 2
Fundede tabellen. Forrest i bogen kom tabel A.5 lige efter A.3, hvorfor jeg troede, at A.4 manglede. Jeg gik på biblioteket for at se om de havde den samme lærebog, de havde, og nogen havde den sunde fornuft (som jeg ikke havde) at se bag på bogen, og der var den. Der er ikke behov for mere hjælp.
Kommentarer
- Du skal integrere med dele gentagne gange begyndende med $ u = y ^ {\ alpha-1} $ og $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $, og $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Hver gang du gør det, får du en integral med en mindre eksponent til $ y $. Hvis $ \ alpha $ er et heltal, kan du afslutte processen. Hvis $ \ alpha $ ikke er et heltal, er tingene mere komplicerede.
- @dilip, du skal sende din kommentar som svar.
- @DilipSarwate, der er ingen lukket formløsning til $ \ alpha $ ikke-heltal, denne cdf er så ufuldstændig gammafunktion .
- Og jeg tvivler stærkt på, at integration ved del var målet af øvelsen.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF [GammaDistribution [5%2C+4 ]%2C+24 ]
Svar
Som foreslået af probabilityislogic konverteres min kommentar til et svar.
Du skal integrere med dele gentagne gange begyndende med $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, og ved hjælp af $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Siden $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, hver gang du foretager en integration efter dele, får en integral med en mindre e xponent for $ y $ på højre side. Hvis $ \ alpha $ er et heltal (som det er i dette særlige tilfælde), vil du være i stand til at afslutte processen med et $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Hvis $ \ alpha $ ikke er et heltal, er tingene mere komplicerede, fordi der ikke er noget generelt udtryk i lukket form for $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ hvor $ 0 < \ gamma < 1 $. Som bemærket af Xi “an, er cdf den ufuldstændige gammafunktion, og dens numeriske værdier er blevet tabelleret.
Hvis integration af dele er ikke er pointen med denne øvelse som foreslået i Elvis s kommentar vil du måske kontrollere, om din professor vil have dig til at tænke på værdien af en gamma-tilfældig variabel som en ankomsttid i en Poisson-tilfældig proces og løse problemet ud fra dette synspunkt.
Kommentarer
- Er der en onlinetabel med forskellige værdier på x og alpha? Min lærebog har kun tabeller til standard normale kurver og t distributioner. Jeg forsøgte at kigge efter en, men fandt for mange Chi-kvadrattabeller i stedet
- Jeg kender ikke ' til en online tabel, men MATLAB beregner værdier for dig , og jeg formoder, at R eller Mathematica eller Wolfram Alpha eller Maple eller … osv ville gøre det samme.