Dette spørgsmål kan være lidt doven, men kan nogen give mig et bevis på Hill-sfæreformlen? I henhold til wikipedia er formlen for radius $ r $
$$ r \ approx a (1-e) \ venstre (\ frac {m} {3M} \ højre) ^ {1/3} $$
hvor en krop med masse $ m $ kredser om en langt mere massiv krop af masse $ M $ med en semi-hovedakse $ a $ og excentrisk $ e $.
Kommentarer
- Se på introduktionen i dette papir .
- Anbring en testmasse mellem to masser, antag, at oprindelsen er i den større masse og beregne, hvor størrelsen på begge kræfter er ens?
- @Dave at ‘ er et ret køligt papir (jeg ‘ planlagde at få noget gjort i dag, men nu …), og Jeg er sikker på, at den ‘ er derinde; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ og ” længdeenheden skaleres med faktoren µ $ {} ^ { 1/3} $ ” men jeg kan ikke ‘ ikke se, hvordan man får (1- e ) foran så let.
- Fordi en (1-e) er periastron?
- Det ser ud til, at de ‘ faktisk har tilføjet en afledning til wikipedia-siden – interessant nok er noget, der ikke er nævnt på wikipedia-siden, at denne overflade ikke er sfærisk, det henviser til, når en partikel på aksen går tabt (i det mindste under en enkelt begivenhed – flere ikke-resonante begivenheder fjerner til sidst alt materiale uden af Hill-radius, der efterlader en kugle)
Svar
Hill-kuglen er defineret lidt anderledes end Roche-lappen , men radius tilnærmes afstanden til Lagrange-punkter L 1 og L 2 .
Til cirkulær bevægelse med vinkelhastighed $ \ omega $ omkring oprindelsen har vi:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Accelerationen på grund af tyngdekraften fra en punktmasse på en anden masse i position $ \ mathbf {r} $ er givet ved den sædvanlige omvendte firkantede lov:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Overvej nu et system med to organer med masser $ m_1 $ og $ m_2 $ , adskilt af en afstand $ r $ kredser om deres fælles massecenter (com) i afstande $ r_1 $ og $ r_2 $ henholdsvis.
sub > 1 < / sub >
Dette er et endimensionelt system, så vi kan skifte fra vektorer til skalarer. Fra definitionen af centrum for massen har vi:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
For $ m_2 $ kredsløb omkring massecentret, svarende til tyngdeacceleration med den krævede acceleration for cirkulær bevægelse giver:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Og derefter udtrykke $ r_2 $ med hensyn til $ r_1 $ giver Keplers tredje lov:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Derefter finder vi afstand til L 1 punktet, hvor tyngdekræfterne i det primære og sekundære kombineres for at give den krævede acceleration til cirkulær bevægelse.Ligning af accelerationen for cirkulær bevægelse med tyngdekrafterne giver:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Og erstatter $ \ omega $ resulterer i:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ til højre)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Omskriv dette derefter med hensyn til masseforholdet $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ og den relative afstand $ z = \ frac {h} {r} $ , hvilket giver:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Dette resulterer i en kvintisk ligning til $ z $ , som skal løses numerisk, da generelle quintics ikke har algebraiske løsninger (jeg er nr t foregiver at forstå beviset for dette ).
Forudsat at vi er i en situation, hvor $ m_1 \ gg m_2 $ , som er en god tilnærmelse til solsystemets planeter, kan vi foretage tilnærmelser for at undgå at løse kvintikken. I dette tilfælde er Hill-kuglen meget mindre end adskillelsen mellem de to objekter, hvilket betyder, at vi kan tilnærme:
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {align} $$
Hvor den anden linje er binomial tilnærmelse . Dette giver:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Omarranger at løse for $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Og derefter bruge definitionerne af $ z $ og $ q $ dette bliver
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Hvilken er den sædvanlige formel for Hill-kuglens størrelse.
For L 2 , Lagrange-punktet er placeret ud over det sekundære, så ligningen af tyngdekraft og cirkulær bevægelse bliver:
$$ \ omega ^ 2 \ venstre (r_2 + h “\ højre) = \ frac {G m_1} {\ venstre (r + h” \ højre) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h “^ 2} $$
Hvor $ h “$ er afstanden fra sekundær til L 2 punkt.
Erstat i $ \ o mega $ og omskrivning i form af $ q $ og $ z “= \ frac {h”} { r} $ giver:
$$ 1 + z “\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z” \ right ) ^ {- 2} + qz “^ {- 2} $$
Igen er dette en kvintisk ligning for $ z” $ , men vi kan foretage lignende tilnærmelser som tilfældet for L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 + z “\ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z “\ end {align} $$
Dette giver:
$$ 1 + z” \ approx 1 – 2z ” + qz “^ {- 2} $$
Forenkling og erstatning af variablerne igen:
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Dette fungerer ved cirkulære baner. For excentriske baner er den sædvanlige tilgang simpelthen at erstatte afstanden $ r $ med den midterste afstand $ a \ left (1 – e \ right) $ hvor $ a $ er den største akse. En mere streng tilgang ville være at bruge vinkelhastigheden ved midtpunktet og udlede derfra, men jeg vil lade det være som en øvelse for den interesserede læser 🙂
Kommentarer
-
+1Don ‘ glem ikke quod erat demonstrandum !
Svar
Hill sfære er opkaldt efter John William Hill (1812–1879) og dens enkle logik følger af tilstedeværelsen af tre legemer (lad os antage, at solen er den største masse med Jorden som den sekundære masse og en satellit med ubetydelig masse, der kredser om Jorden som den tredje masse), hvor radius af Hill-sfæren vil være den største radius, hvor en satellit kunne kredse om den sekundære masse (Jorden i dette tilfælde). Hvis dens bane overstiger Hills-radius, vil den falde til tyngdekraften fra den første krop (sol) og vil derfor ikke længere være en satellit for den sekundære krop.
Man kunne skrive Newtons ligninger ved hjælp af ideen om, at satellitten har samme vinkelhastighed som det sekundære objekt.Dette er, at jordens vinkelhastighed omkring solen er lig med satellitens vinkelhastighed omkring solen. En demonstration om afledningen gives i følgende link såvel som Roche-grænsen: