Frog Riddle – betingede sandsynligheder

Lad os se på paret af frøer. Mandlige frøer identificeres ved at kvække i videoen.

Som det blev forklaret i videoen, er der 4 lige sandsynlige resultater, der gives 2 frøer, før vi hører nogen kvækning:

• Frø 1 er mand, frø 2 er mand
• Frø 1 er kvinde, frø 2 er mand
• Frø 1 er mand, frø 2 er Kvinde
• Frø 1 er Kvinde, Frø 2 er Kvinde

Med vores antagelser om mænd og kvinder, der forekommer lige og uafhængigt, er vores prøveplads $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, og vi har sandsynligheden $ 1/4 $ for hvert element.

Nu, når vi hører kvækket kommer fra dette par, vi ved, at mindst én frø er mand. Så begivenheden $ (F, F) $ er umulig. Vi har derefter et nyt, reduceret prøveplads induceret af denne tilstand: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Hver tilbageværende mulighed er stadig lige sandsynlig, og sandsynligheden ty af alle begivenheder tilsammen skal være $ 1 $. Så sandsynligheden for hver af disse tre begivenheder i det nye prøveområde skal være $ 1/3 $.

Den eneste begivenhed, der ender dårligt for os, er $ (M, M) $, så der er en $ 2 / 3 $ chance for overlevelse.

---

Mere formelt siger definitionen af betinget sandsynlighed:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Så hvis $ A $ er begivenheden, hvor mindst en kvinde er til stede, og $ B $ er begivenheden, hvor mindst en mand er til stede, har vi: \ begin {align} P (\ text {F givet mindst 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F og mindst 1 han})} {P (\ text {at mindst 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M og 1 F})} {P (\ text {1 M eller 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Dette er virkelig den samme procedure, som vi begrundede som ovenfor.

Kommentarer

• Hej mb7744, tak for det hurtige svar. Jeg forstår svaret som beskrevet, men det ser ud til mig som dobbeltoptælling, hvorfor jeg ‘ kæmper for at acceptere svaret. (M, F) = (F, M), og hvis ikke, hvorfor ikke?
• (M, F) og (F, M) er ikke den samme begivenhed. Hvis den ene frø hedder Alex, og den anden frø hedder Taylor, kan Alex være kvinden og Taylor den mandlige ELLER omvendt. Alex og Taylor ville sandsynligvis være uenige i, at denne sondring er meningsløs. Nu kan du se de to begivenheder som ækvivalente.Men så er dine tre resultater (M, M), (F, F) og (M, F) ikke lige så sandsynlige. Den blandede parring er dobbelt så sandsynlig. Dette er den samme grund til, at du er meget mere tilbøjelige til at kaste en 7 på et par terninger end en 2, selvom du ser alle de forskellige måder at kaste 7 på som ækvivalente.
• Hej, jeg tror dette hjælper med at afklare, hvor jeg ‘ m ikke ‘ får ‘ gåden. Hvis jeg måske gentager problemet, da jeg ‘ ser det, skal du udskifte frøen med en møntkast (eller et terningkast). Hvis du skulle vende to mønter og udelukke visse kombinationer, ville jeg helt acceptere svaret. I gåden ‘ s analogi læser jeg dog dette, da vi kun får en møntkast. Den anden er allerede lavet og kan ikke ændre resultatet af den anden. At ikke vide, hvilket af de to resultater der allerede er bestemt, tillader ikke ‘ os at vende to mønter og vælge hvilke resultater, der skal inkluderes eller ekskluderes. Så ved at bruge terningkast-analogien …..
• … får du to terninger, men ukendt for dig en terning ‘ resultatet har allerede været besluttet. Du har kun 1/6 chance for at lave et hvilket som helst nummer 7-12. Har jeg forkert her?
• Hvis vi ser på alle parene med lige så sandsynlige resultater i terningkast, er rækkefølge vigtig . Forestil dig, at den ene dør er blå og den anden rød, og vi skriver vores resultater med den blå dør først og den røde dør sidst. Derefter er resultatet (1,2) ikke det samme som resultatet (2,1). Og som før er sandsynligheden for at rulle en ” 1 og en 2, uanset rækkefølge ” dobbelt så meget som f.eks. , rullende et par 2er. For dit sidste spørgsmål antager jeg, at du mente at sige, at et dø ‘ resultatet blev bestemt til at være 6 . I så fald har du ret.

Da matematikken allerede er lagt, vil jeg prøve at give en vis intuition. Problemet er, at det at vide, at mindst én frø er mand, adskiller sig fra at vide, at en hvilken som helst bestemt frø er mand. Førstnævnte tilfælde bærer mindre information, og dette øger vores chancer i forhold til sidstnævnte situation .

Ring til frøerne til venstre og højre, og antag, at vi får at vide, at den rigtige frø er mand. Derefter har vi fjernet to mulige begivenheder fra prøveområdet: begivenheden, hvor begge frøer er kvindelige og begivenheden, hvor den venstre frø er mand, og den rigtige frø er kvinde. Nu er sandsynligheden virkelig halvdelen, og det betyder ikke noget, hvilken vi vælger. Det nøjagtige samme argument er sandt, hvis vi lærer, at den venstre frø er mand.

Men hvis vi kun får at vide, at mindst én frø er mand, hvilket er, hvad der sker, når vi hører kvækket, så kan vi ikke eliminere begivenheden, at den venstre frø er mand, og den højre frø er kvinde. Vi kan kun fjerne begivenheden, hvor begge er kvinder, hvilket gør begivenheden, hvor mindst en er kvinde mere sandsynlig end den foregående indstilling.

Jeg tror, at grunden til, at dette er forvirrende, er, at vi naturligvis synes, at lære at mindst én er mand, bør gøre os uvillige til at vælge par frøer. Det er rigtigt, at disse oplysninger gør det mindre sandsynligt, at mindst en er kvinde, men erkend også, at der var en fuld tre fjerdedels chance for mindst en kvinde, før vi overhovedet lærte noget. Det er tvetydighed af de oplysninger, vi modtager, hvilket gør det til, at vi stadig foretrækker de to frøer frem for den ene.

Kommentarer

• Tak dsaxton, intuitivt valgte jeg de to frøer, men min begrundelse fortalte mig, at begge valg var lige så sandsynlige.
• Tak dsaxton, jeg formoder, at det ‘ s formuleringen af den gåde, der kaster mig. Som stødt på skelnes de to frøer ikke (uden yderligere information), så jeg ser ikke (M, F), (F, M) sondringen som meningsfuld i dette kontekst. Jeg er ikke overbevist om, at min ræsonnement er defekt, men jeg undskylder, hvis jeg bare er lidt langsom.
• Tak igen dsaxton. Som nævnt ovenfor ‘ har fundet det mentale læg på, jeg havde, og kan nu se, hvorfor svaret er det rigtige svar (og det spørgsmål, jeg faktisk prøvede at besvare). Tak igen for din hjælp, at se svaret er bare ikke det samme som at have hjælp til virkelig at forstå det.

Din intuition er korrekt i dette tilfælde. Som problemet er angivet, er dine odds for overlevelse 50%. Videoen angiver forkert problemområdet baseret på de oplysninger, vi har, og kommer derfor til en forkert konklusion. Det korrekte problemrum indeholder 8 betingelser og er som følger.

Vi har to frøer på en log, og en af dem har skurrket, hvad er vores muligheder?(M betegner han, F betegner hun og c betegner kvækket, første position er venstre, anden position er højre)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Hver sag er lige sandsynligt baseret på information, vi har, når vi fjerner betingelserne givet viden om, at en frøhane har kvækket. Vi finder ud af, at der er 4 resultater at forvente. Venstre mandlig frø skreg ved siden af en højre mandlig frø, der var tavs. Højre mandlig frø skreg ved siden af en venstre mandlig frø, der var tavs. Eller der var en kvækkende mandlig frø parret med en enkelt hunfrø i begge retninger. For at få en intuitiv måde at forstå dette på, er de to mandlige frøer dobbelt så sandsynlige, at de kvager end den eneste mandlige frø, der er parret med en kvinde, så vi er nødt til at veje det passende.

Du kan også opdele søgerummet ved at kvække frøen (C) og ikke-kvækkende frøen (N). Da den kvækkende frø er 100% en mand, kan du fjerne den fra din søgning, da den ikke har nogen chance for at hjælpe dig med at overleve. Mens forfatteren havde til hensigt at skabe et “monty hall-problem”, skabte de utilsigtet et “paradis for dreng eller pige”.

Følgende spørgsmål giver forskellige resultater:

I betragtning af at der er en mand, hvad er sandsynligheden for, at den anden er kvinde?

I betragtning af at en mandlig frø skurede hvad er sandsynligheden for, at den anden er kvinde?

Jeg kender flere oplysninger i det andet tilfælde

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Et klarere svar på dette, da det foregående var for langt og ikke let at forstå.

De mulige resultater er forskellige, selvom jeg brugte de samme bogstaver. For at tydeliggøre prøveområdet skal jeg beskrive de mulige resultater

MM -> “The han er til venstre “-” En tilfældig mand til højre “

MF -> “Hanen er til venstre” – “En tilfældig kvinde til højre”

MM – -> “Hanen er til højre” – “En tilfældig mand til venstre”

MF -> “Hanen er til højre” – “En tilfældig kvinde til venstre”

Kommentarer

• Du tæller MM dobbelt sag. Du kan ‘ ikke bare tælle alle mulige scenarier uden at tage højde for, om du ‘ når frem til det samme scenario gennem forskellige stier.

Problemet jeg har med dette problem er, at løsningen ser ud til at bruge forskellige regler for hvad det betragter et muligt resultat for de to frøer, der er mandlige og kvindelige, og mandlige og mandlige.

F / M-parret og M / F-parret er forskellige, fordi vi ikke ved, om det første frøen eller den anden frø er mand, så F / M og M / F er to separate muligheder, selvom resultatet stadig udgør “en kvindelig frø, en mandlig frø”.

Men M / M par betragtes kun som et muligt resultat, selvom den samme logik skal gælde: vi ved ikke, hvilken frø der er den, der fik kvækkende lyd, så begge frøer kunne være den, vi hørte, og den anden kunne stadig være mandlig , det skete bare ikke med at kvække.

Kommer ts

• Dette er mere karakter af en kommentar end et svar på ” gåden. ” Skift det til en kommentar, og slet dette ” svar. ”
• @DJohnson Faktisk er dette et svar på gåden, selvom det senere svar fra tomciopp forklarer det tydeligere.

Uden at vide noget: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Tre par med mindst en kvinde ud af fire mulige kombinationer: $ 3/4 $ eller $ 75 \% $

At kende den første er mandlig: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Et par med mindst en kvinde ud af to mulige kombinationer: $ 1/2 $ eller $ 50 \% $

At vide, at der er mindst én mand: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .To par med mindst en kvinde ud af tre mulige kombinationer: $ 2/3 $ eller $ 67 \% $

Før vi hører noget kvækkende, er der 4 lige sandsynlige resultater givet 2 frøer:

Frø 1 er mand, frø 2 er mand

Frø 1 er kvinde, frø 2 er mand

Frø 1 er mand, frø 2 er kvinde

frø 1 er kvinde, frø 2 er kvinde

Når vi antager antagelser om mænd og kvinder, der forekommer lige og uafhængigt, er vores prøveområde {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, og vi har sandsynlighed 1/4 for hvert element.

Når vi først hører kvækket komme fra dette par, ved vi, at mindst én frø er han. Denne mand kan lige så sandsynligt være Frog 1 eller Frog 2. Så der er 2 lige så sandsynlige resultater for Frog 1:

Frog 1 er Mand

Frog 1 er Random Frog

At antage antagelser om mænd og kvinder, der forekommer lige og uafhængigt, er tilfældig frø lige så sandsynlig, at han er en tilfældig mand eller en tilfældig kvinde.

P (frø 1 er tilfældig mand givet frø 1 er Tilfældig frø) = P (frø 1 er tilfældig kvinde givet frø 1 er tilfældig frø) = 1/2

P (frø 1 er tilfældig mand og frø 1 er tilfældig frø) = P (frø 1 er tilfældig Frø) P (Frø 1 er tilfældig mand givet Frø 1 er tilfældig frø) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Frø 1 er Tilfældig kvindelig og frø 1 er tilfældig frø) = P (frø 1 er tilfældig frø) P (frø 1 er tilfældig kvindelig frø 1 er tilfældig frø) = (1/2) (1/2) = 1/4

Så der er 3 mulige resultater for frøen 1:

Frø 1 er mand

Frø 1 er tilfældig mand

Frø 1 er tilfældig kvinde

og sandsynligheder er:

P (frø 1 er mand) = 1/2

P (frø 1 er tilfældig mand ) = 1/4

P (Frog 1 er tilfældig kvinde) = 1/4

Nu, for hvert mulige resultat for Frog 1 er der 2 mulige resultater for Frog 2:

Frog 2 er mand

Frø 2 er tilfældig frø

For hvert mulige resultat for frø 1 er tilfældig frø lige så sandsynligt at være en tilfældig mand eller en tilfældig kvinde.

Så for hvert mulige resultat for Frog 1 er der 3 mulige resultater for Frog 2:

Frog 2 er mand

Frog 2 er tilfældig mand

Frog 2 er tilfældig kvinde

P (Frog 2 får mand Frog 1 er mand) = 0

P (Frog 2 får mand Frog 1 er tilfældig mand) = 1

P (Frog 2 er mandlig Frog 1 er tilfældig kvinde) = 1

P (Frog 2 er tilfældig mandlig Frog 1 er mandlig) = 1/2

P (Frog 2 er tilfældig mand givet Frog 1 er tilfældig mand) = 0

P (Frog 2 er tilfældig mand givet Frog 1 er tilfældig kvinde) = 0

P (Frø 2 er tilfældig kvinde givet Frø 1 er mand) = 1/2

P (Frø 2 er tilfældig kvinde frø 1 er tilfældig mand) = 0

P (Frø 2 er tilfældig kvinde givet Frø 1 er tilfældig Fe han) = 0

P (Frø 2 er tilfældig mand og frø 1 er mand) = P (frø 1 er mand) P (frø 2 er tilfældig mand givet frø 1 er mand) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Frog 2 er tilfældig kvinde og Frog 1 er mand) = P (Frog 1 er mand) P ( Frø 2 er tilfældig kvinde givet Frø 1 er mand) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Frø 2 er mand og frø 1 er tilfældig mand) = P (Frog 1 er tilfældig mand) * P (Frog 2 får mand Frog 1 er tilfældig mand) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Frog 2 er mand og frø 1 er tilfældig kvinde) = P (frø 1 er tilfældig kvinde) * P (frø 2 får mand frø 1 er tilfældig kvinde) = (1/4) * 1 = 1/4

Så vores prøveområdet er {(mand, tilfældig mand), (mand, tilfældig kvinde), (tilfældig mand, mand), (tilfældig kvinde, mand)}, og vi har sandsynlighed 1/4 for hvert element.

P (F givet mindst 1 M) = P (F og mindst 1 han) / P (mindst 1 M) = P (1 M og 1 F) / P (1 M eller 2 M) = P [( Mand, tilfældig kvinde), (tilfældig kvinde, mand)] / P [(mand, tilfældig mand), (mand, tilfældig kvinde), (tilfældig mand, mand), (tilfældig kvinde, mand)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Kommentarer

• Kopierede og indsatte du fra mit svar og fjernede formateringen?
• Nå, først og fremmest kopiering og indsættelse af en del af en anden ‘ s svar uden engang at nævne det er uacceptabelt. Bortset fra, hvis du tror, at du har nået et andet resultat, er der en mere kortfattet måde for dig at forklare det på? Du har skrevet mange frakoblede ligninger uden nogen forklaring.
• Det ‘ er ikke litteratur, men det er stadig uhøfligt. Nu med hensyn til dit svar kontra mit: Jeg finder dit meningsløst. Hvad er meningen med resultatet ” Frog 2 er tilfældig frø “?
• Dit svar var det eneste beregning af betingede sandsynligheder. Brug af samme udtryk kan hjælpe med at sammenligne og se, hvilken del der er den samme, og hvilken der er forskellig. Jeg kan sige, jeg finder også andre svar meningsløse, men det sagde jeg ikke, fordi det ville være uhøfligt;). Hvis du ikke forstår sth, kan du jusk bede om afklaringer. ” Frog 2 er tilfældig frø ” betyder, at det ikke er den mandlige frø, der vides at være i parret ….
• Der er to kilder til tilfældighed, den ene kommer fra den mandlige frø, der vides at være i parret, den anden kommer fra frøpopulationen. Da vi ved, at den mandlige frø er der, handler usikkerheden kun om positionen. Er det frø 1 eller frø 2? Eller er det til venstre eller til højre? Mit råd er at bruge trædiagram til at oprette prøveplads fra bunden og bruge al tilgængelig information.