Jeg er generet af motivationen bag at definere en fire-hastighed. I Schutzs Et første kursus i Generel relativitet , han bruger begrebet en tangentvektor på hvert punkt i en verdenslinje af en partikel givet af $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Og senere siger han, at
\ begin {ligning} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {ligning}
Den matematiske forklaring, jeg fandt for at bruge den rette tid som parameter, som alle observatører er enige om, men jeg kan ikke forstå, hvilke problemer vi opnår med i stedet for denne definition bruger vi forholdet
\ begin {ligning} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {ligning}
hvor $ t $ er tidsmålingen i en eller anden inerti-ramme S.
Kommentarer
- Jeg tror ikke ' at du ' ville stille dette spørgsmål i det euklidiske rum. Overvej en kurve $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Derefter kan man skrive tangentvektorerne som $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. ELLER vi kunne følge dit sidstnævnte forslag og bruge $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Tangentvektoren peger stadig den rigtige vej, men ingen longe r er pænt defineret, og definitionen giver dig ikke længere mulighed for at rotere på en måde, der blander koordinaterne op, da det udpeger $ x $.
- Forklarer ikke bogen et eller andet sted, at firhastigheden er defineret på den måde, så det er en Lorentz fire-vektor?
- @ jacob1729 kan du give mig et eksempel? Jeg ' er ret forvirret med dette emne
Svar
@Milan har allerede besvaret de tekniske problemer i din definition.
Jeg vil gerne påpege konceptuelle problemer. Vi vil gerne have, at 4-hastigheden på en eller anden måde karakteriserer bevægelsen af et objekt gennem rumtiden. Konceptuelt er det fornuftigt at kræve, at en sådan mængde kun afhænger af de mængder, der har direkte relation til denne bevægelse. Så at bringe en tilfældig observatørs tid, der ikke har noget med objektets bevægelse at gøre, ville være begrebsmæssigt underlig beslutning. Det giver mening at definere 4-hastighed som en tangentvektor til objekternes verdenslinje, fordi denne matematiske enhed er direkte forbundet med det og dermed også med objekternes bevægelse. Naturligvis har vi brug for en eller anden parametrisering af verdenslinjen, hvilket ville være ideelt naturligt for selve verdenslinjen / bevægelsen og ikke afhænger af nogen eksterne størrelser. Siden i rumtiden har hvert objekt sine egne ure, denne kurve parametriseres naturligvis af uret i selve objektet, det vil sige – ved dets rette tid.
Bemærk, at på denne måde behøver du slet ikke at tale om Lorentz-gruppen. Da jeg først lærte om 4-hastighed, følte beslutningen om at bruge den rette tid i afledningen for mig som en tilfældig beslutning bare for at lave en Lorentz 4-vektor. Men det har faktisk dybere geometriske grunde, som jeg forsøgte at forklare.
Kommentarer
- Kan du anbefale en relativitetsbog, der forklarer disse emner, som du forklarede?
- @Lil ' Tyngdekraften ikke rigtig, men jeg kan give dig tre bøger, der skiller sig ud for mig personligt. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitation forklarer generel relativitet og differentiel geometri på meget intuitivt niveau – sammen med fysiske motiver for det meste af matematikken, og Wald – General Relativitet er en god bog til en mere formel, geometrisk tilgang til at se klart, hvordan begreberne defineres abstrakt uden behov for koordinatsystem. Så er der Fecko – Differentialgeometri og Liegrupper for fysikere, som jeg anser for at være den bedste lærebog om differentiel geometri.
Svar
Den første definition transformeres som en firvektor: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
Den anden definition transformeres ikke helt som en firvektor: $ \ dfrac {dx ^ {“\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt “} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Dette giver mening, da man i den første definition opdeler forskellene på en firvektor (som i sig selv også transformeres som en fire -vektor) ved en skalar (uændret under Lorentz-gruppen).