Gravitationel slangebøsse maksimum

Man kan få et størrelsesorden estimat af maksimal hastighed, der kan opnås ved tyngdekraft slynger uden at foretage nogen reel beregning.

Ræsonnementet om “grov fysik” går som følger:

Gravitationsfeltet på planeterne, der bruges til slynger, skal være stærkt nok til at “gribe” det hastige rumskib. Da en planet ikke kan “gribe” et rumskib, der bevæger sig hurtigere end planetens flugthastighed, er det umuligt at slynge et rumskib til hastigheder ud over planetens flugthastigheder.

Så uanset hvor ofte vores sol systemplaneter stiller sig op, og uanset hvor ofte det lykkes dig at trække en perfekt tyngdepunkt, er du praktisk talt begrænset til hastigheder, der ikke overstiger nogenlunde den maksimale flugthastighed i solsystemet (dvs. 80 km / s eller 0,027% af lysets hastighed , Jupiters flugthastighed).

(Bemærk: ved at arbejde med veldefinerede baner kan man forfine ovenstående argument og få alle de numeriske faktorer korrekte.)

Kommentarer

• Jeg bliver uenig med dig. Hvis du støder på en himmellegeme fra den rigtige vinkel, ville du stadig være i stand til at få dens orbitalhastighed en gang, når du ville have en excentricitet på 1.4142, hvilket betyder, at den overstiger flugthastigheden. Eller refererer du til, at hyperbolsk overskydende hastighed er lig med flugthastigheden (hvilket vil betyde en excentricitet på 3), men dette vil stadig give mulighed for en gevinst på ca. 40% af orbitalhastigheden. Det falder, men jeg tror stadig, at det er signifikant.
• @fibonatic – Krangler du om faktorer $ 1,4 $ i et estimat af størrelsesorden?
• 1.4 er ikke en størrelsesorden lavere enten.

Jo hurtigere du går, jo mindre hastighed kan du teoretisk få fra en tyngdekraftsassistent.

Årsagen til dette er, at jo hurtigere du går, jo sværere er det at bøje kredsløbet. For at bevise dette er vi nødt til at bruge tilnærmelsen patched conics , hvilket betyder, at mens det er inden for en sfære Kepler kredser kan bruges. Kuglen kan forenkles til at være uendeligt stor, da bøjningen af den egentlige lappede kegle næppe vil blive påvirket af dette. Mens excentriciteten er lav (lig med eller større end en, da det skal være en flugtbane), vil banen være i stand til at være bøjet 360 ° effektivt og vende rumfartøjets relative hastighed med himmellegemet, så ændringen i hastighed ville være dobbelt så høj som relativ hastighed, hvilket også er den teoretiske maksimale forstærkning. Når excentriciteten øges, aftager denne vinkel. Denne vinkel kan afledes af følgende ligning:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

hvor $ r $ er afstanden fra rumfartøjet til himmellegemets massecenter, $ a $ er den semi-store akse, $ e $ er excentriciteten og $ \ theta $ er den sande anomali.Den semi-hovedakse og excentricitet skal forblive konstant under banen, så radius ville kun være en funktion af den sande anomali, som pr. Definition er lig med nul ved periapsis, og derfor vil den maksimale bøjningsmængde være omtrent det dobbelte af den sande anomali ved $ r = \ infty $, hvilket betyder

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Når excentriciteten bliver virkelig høj, bliver denne vinkel 180 °, hvilket betyder, at banen grundlæggende er en lige linje.

Der er flere måder at ændre excentriciteten på. I dette tilfælde ville de relevante variabler være:

• hyperbolsk overskydende hastighed , $ v_ \ infty $, som vil være lige til den relative hastighed, hvormed rumfartøjet “møder” himmellegemet, med dette mener jeg, at himmellegemernes kugle er meget lille sammenlignet med skalaen for himmellegemernes baner omkring solen, således at den relative hastighed kan være tilnærmet med forskellen i orbitalhastighed i forhold til solen, tilnærmet med en Kepler-bane ved et møde mellem de to, når man bruger en bane, der ignorerer interaktionen mellem dem.
• Højden af periapsis , $ r_p $, som grundlæggende er begrænset af himmellegemets radius (overflade eller ydre atmosfære).
• gravitationsparameter for himmellegemet, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

Gravitationsparameteren er kun en given for as specifikt himmellegeme, da en lavere excentricitet er ønskelig, bør periapsis derfor indstilles til dens nedre grænse, himmellegemets radius. På denne måde er excentriciteten kun en funktion af hyperbolsk overskydende hastighed og dermed rumfartøjets relative hastighed med himmellegemet.

Ved at bruge lidt mere matematik kan det vises, hvad hastighedsændringen ville være efter sådan en tæt tyngdekraftsassistent. Til dette bruger jeg et koordinatsystem med en enhedsvektor parallel med retningen af den relative støthastighed, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $ og en vinkelret enhedsvektor, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ højre) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Når du planlægger disse værdier for Jorden, skal $ \ mu = 3.986004 \ gange 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ og $ r_p = 6.381 \ gange 10 ^ { 6} m $ (jeg brugte ækvatorialradius plus den højde, hvor atmosfærisk effekt kan overses, 300 km), får du følgende resultater:

Hvis du vil t en så høj som mulig hastighed, så vil du have, at denne hastighedsændring ville være i retning af din hastighed omkring solen. Hvis du har tid nok og kredsløbet er excentrisk nok til at det krydser flere baner af himmellegemer, er der mange muligheder, men så snart du har en flugtbane fra solen, passerer du dybest set ved hvert himmellegeme højst en mere tid.

Hvis du bare vil få en så høj hastighed som muligt, vil du måske komme tættere på solen i en meget excentrisk bane, da dens “overflade” flugthastighed er $ 617,7 \ frac {km} {s} $.

Kommentarer

• Hej fibonat, tak for svaret . Jeg har opdateret spørgsmål med yderligere data, da jeg forstår, behøver du kun planetens radius, vægt og starthastighed for at udføre beregningen, hvis du har brug for flere data, så lad mig vide, at jeg får det til dig.
• Så maks. tyngdekraftsslynge, vi kunne få, ville være 0,002 lyshastighed google.co.uk/… hvilket ville tage os 2000 år for at komme til Alpha Centauri google.co.uk/… Tak for godt svar.
• @MatasVaitkevicius Nej, da du ved 0,002 c nær solens overflade ville have en hastighed på nul uendeligt langt fra solen, eller når du passerer Neptuns bane, ville du være blevet bremset til 7,7 km / s.

I tænker alle for hårdt på dette. Slangebøsseeffekten handler om referenceramme. I forhold til den krop, du nærmer dig, skal indgangshastighedsforøgelsen være lig med udgangshastighedsfald, eller du overtræder enkle fysiske love (dvs. tyngdekraft). Fra perspektivet solsystem vil du have en nettoforøgelse i hastighed, hvis du nærmer dig en planet fra den rigtige retning, ellers vil du have et fald i nettohastigheden efter udgang.Den teoretiske maksimale hastighedsforøgelse ved udgangen er derfor en funktion af værtens (slangebøsse) legems hastighed i referencerammen og tilgangsvektoren.