Gravitationsacceleration på Månen og Mars

Lad ” s se hvordan accelerationen på grund af tyngdekraft opnås for enhver planet, og så kan vi anvende dette på Jorden eller Månen eller hvad vi vil.

Newtons tyngdekraftlove fortæller os, at størrelsen af tyngdekraften mellem objekter med masser $ m_1 $ og $ m_2 $ er givet ved \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} hvor $ r $ er afstanden mellem deres massecentre. Antag nu, at objekt 1 er en planet med masse $ m_1 = M $ og radius $ R $, og objekt 2 er et meget mindre objekt med masse $ m_2 = m $ placeret i en højde $ h $ over planetens overflade det er lille sammenlignet med planetens radius. Størrelsen af tyngdekraften mellem de to objekter vil være \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} på den anden side, fortæller Newtons anden lov os, at accelerationen af objekt 2 vil tilfredsstille \ begin {align} F = ma \ end {align} Ved at kombinere disse fakta, nemlig at indstille højre side lige, får massen $ m $ til at falde ud af ligningerne og accelerationen på grund af tyngdekraften af genstanden med masse bliver $ m $ \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ venstre (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} hvor jeg i anden ligestilling har udført en Taylor-udvidelse af svaret med det lille antal $ h / R $. Bemærk det til nul orden, nemlig det dominerende bidrag, når objekt 2 er tæt på planetens overflade, er en konstant, der er uafhængig af højden og kun afhænger af planetens masse og radius; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Dette er præcis det, vi normalt kalder acceleration på grund af tyngdekraften nær overflade af en planet. Hvis du tilslutter tallene til jorden, får du \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ ca. 9.8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} og I ” Lad det være dig at bestemme antallet for andre planeter. Den vigtige egenskab ved denne acceleration på grund af tyngdekraften er, at den skaleres lineært med massen $ M $ på planeten, og den skalerer som den negative anden effekt af radius af planet.

Kommentarer

• Jeg synes det også er nyttigt at nævne virkningerne af centrifugalkraft på grund af himmellegemets vinkelhastighed. $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ En anden effekt heraf er, at kroppen selv bukker rundt om ækvator, hvilket øger overfladeradius nær ækvator (sænkes nær polerne).

Tyngdeaccelerationskonstanten defineret som $ g $ for jorden afhænger af jordens masse og afstanden fra den. Formlen er $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Se Newtons L aw af Universal Gravitation for flere detaljer). Så $ g $ er ikke konstant selv på jorden, men afhænger af din højde, omend ret langsomt. Hvis du er i månen, er massen af månen $ (~ 10 ^ {22} kg) $ mindre end den for jorden $ (~ 10 ^ {24} kg) $ og dermed den tyngdekraft, du ville føle, $ mg $ ville være langt mindre på grund af at $ g $ var mindre, ca. $ 1,62 m / s ^ 2 $.

Enhederne på $ g $ er også $ m / s ^ 2 $ og ikke $ N / s ^ 2 $

En nem måde at tænke over dette på er at overveje, at tyngdeaccelerationen på overfladen af f.eks. en planetarisk krop i det væsentlige afhænger af to størrelser: kroppens masse og radius .

Overfladeacceleration øges med kroppens masse (hvis du fordobler massen, fordobler du accelerationen) og falder med kvadratet af radius (hvis du fordobler radius, er accelerationen kvartet).

Så for eksempel er Månens radius ca. 0,273 gange Jordens radius, men Månens masse er ca. 0,0123 Jordens masse. Så vi forventer, at accelerationen ved Månens overflade er

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

og helt sikkert er Månens overfladegravitation ca. $ 1,62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Så hvis du kender massen og radius af f.eks. Mars, kan du bestemme Mars overfladetyngdekraft som følger:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $